大学物理实验讲义.doc
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大学物理实验讲义 南阳师范学院物理与电子工程学院 前 言 《大学物理实验》是面向高等学校理工科学生的重要实践课程，对于培养学生 的从事科学研究的基本素养、锻炼学生的动手能力、观测能力、数据处理与分析能 力，培养学生的创新意识与科研开发能力，具有不可替代的重要作用。我们根据目 前我国高等院校大学物理实验开设的情况，制定了我院的《大学物理实验》培养方 案与目标，对照实验室的仪器设备配置，据此组织编写了这本实验进义，可供我学 院所有理工科专业的学生使用。 本讲义由张国芳主持编写，绪论、误差理论与数据处理，实验一、实验五由郑 长波编写，实验二由杨兴强编写，实验三、实验四由肖绍武编写，实验六、实验八、 实验十由张萍编写，实验九由侯晨霞编写，实验七由刘克涛编写。 本讲义在编写过程中,参考了许多其他高等师范院校的实验教材,得到了我院许 多长期从事实验教学工作教师的大力支持，在此表示感谢！本教材难免有不妥之处, 恳请读者批评指正。 1 目 录 绪论 误差理论与数据处理....................................3 实验一 密度的测量............................................61 实验二 牛顿第二定律的验证（气垫导轨法）......................69 实验三 杨氏弹性模量的测定（拉伸法）......................... 78 实验四 扭摆法测刚体的转动惯量............................... 87 实验五 金属线胀系数的测定................................... 94 实验六 二极管伏安特性的测定................................. 101 实验七 电表改装与校准（设计性实验）..........................105 实验八 示波器的使用..........................................108 实验九 霍耳效应..................................... ........118 实验十 等厚干涉现象的研究....................................134 2 绪 论 误差理论与数据处理 物理学是一门实验科学，在物理学的建立和发展中，物理实验起到了直接的推 动作用。从经典物理到近代、现代物理，物理实验在发现新事物、建立新规律、检 验理论、测量物理量等诸多方面发挥着巨大作用。随着现代科学技术水平的高度发 展，物理实验的思想、方法、技术与装置已广泛地渗透到了自然学科和工程技术的 各个领域，解决了一大批生产和科研问题。 大学物理实验是一门重要的基础课程，是学生进入大学后系统地接受科学实验 方法和实验技能训练的开端。通过学习，可以提高学生用实验手段发现、分析和解 决问题的能力，激发学生的创新意识和创造力，培养和增强独立开展科学研究的素 质。 一、大学物理实验课的主要任务 1．通过对实验现象的观察分析和对物理量的测量，使学生掌握物理实验的基本 知识、基本方法和基本技能。运用物理学原理和物理实验方法研究物理规律，加深 对物理学原理的理解。 2．培养与提高学生从事科学实验的能力。主要包括： （1）自学能力。能够自行阅读实验教材与参考资料，正确理解实验内容，做好 实验前的准备工作。 （2）动手能力。能借助教材与仪器说明书，正确调整和使用仪器，制作样品， 发现和排除故障。 （3）思维判断能力。运用物理学理论，对实验现象与结果进行分析和判断。 （4）书面表达能力。能够正确记录和处理实验数据，绘制图表，分析实验结果， 撰写规范、合格的实验报告或总结报告。 （5）综合运用能力。能够将多种实验方法、实验仪器结合在一起，运用经典与 现代测量技术和手段，完成某项实验任务。 （6）初步的实验设计能力。根据课题要求，能够确定实验方法和条件，合理选 3 择、搭配仪器，拟定具体的实施步骤。 3．培养学生从事科学实验的素质。包括理论联系实际、实事求是的科学作风； 严肃认真的工作态度；不怕困难、勇于探索的创新精神；遵章守纪、爱护公物的优 良品德；团结协作、共同进取的作风。 二、大学物理实验课的基本程序 1．实验预约 目前，大学物理实验课程大多采用开放式教学方式，即学生可在实验室提供的 上课时间和开设的实验项目内，根据自己的专业特点、兴趣爱好及时间安排，自己 选择实验项目和实验时间。因此，做好上课前的预约工作是至关重要的。实验预约 主要通过计算机网络实现，学生在预约时应仔细阅读实验室（或中心）关于开放实 验的有关管理规定和预约指南，合理地安排好自己的实验课表，保证实验课的顺利 进行。 2．实验前的预习 预习是训练和提高自学能力的极好途径，为了在规定时间内高质量地完成实验 内容，必须做好预习工作。预习时，通过阅读实验教材及参考资料，重点考虑三方 面问题：做什么（最终目的）；根据什么去做（实验原理和方法）；怎样做（实验方 案、条件、步骤和关键要领）。在此基础上写好预习报告，报告主要内容是：实验名 称，简单实验原理（如主要计算公式、线路图等） ，实验内容（需观察的现象或需测 量的物理量，数据记录表格），遇到的问题及注意事项。 每次实验前，教师将检查预习情况。 3．实验中的观测 实验操作与观测是动手能力、思维判断能力和综合运用能力训练的过程，也是 培养学生科学实验素质的主要环节。在教师指导性讲解的基础上，主要做到以下几 方面要求： （1）弄清实验内容的具体要求和注意事项。 4 （2）熟悉仪器，并进行调整测试，符合要求后，方可进行正式操作、测量。 （3）科学地、实事求是地记录下实验中观察到的各种现象和测量数据，同时记 录与实验结果有关的实验条件，如环境（温度、湿度、压力等）、主要仪器（名称、 型号、规格、准确度等） ，记录数据要注意有效数字和单位准确。 （4）实验完毕，将实验结果记录情况交任课老师审阅签字，确认无误后方可整 理仪器结束实验。 4．实验后的报告 实验报告是实验工作的全面总结和深入理解的一个环节。一份完整的实验报告， 应是在完善预习报告的基础上，增加： （1）实验现象与数据，获得数据的条件（如仪器、环境等）。 （2）数据处理方法，结果表达。 （3）实验现象及误差分析，结果讨论、结论，对实验的体会与建议等。 （4）教师签字的原始数据。 书写实验报告时，要简明扼要，文字通顺，字迹端正，图表规范；独立完成实 验报告并及时上交。 三、大学物理实验课的成绩评定 平时每个实验项目的成绩主要采用“三段式能力考核”方式进行评定，即通过 考核预习情况检验学生的自学能力，通过操作检验学生的动手能力与理论联系实际 能力，通过实验报告考核学生综合分析、处理数据和书面表达能力。教师在每一堂 实验课的教学过程中，将根据实验项目评分标准对实验的每个环节严格评定， 充分 掌握学生的学习情况。实验成绩为预习成绩、操作成绩、报告成绩三者之和。 课程总成绩主要为各实验项目平均成绩与所做实验个数的加权平均值，必要时 在学期末进行实验基本理论知识和实验基本技能考试。 第一章 误差理论与数据处理基础知识 在科学研究和实验过程中，往往离不开对某个物理量的测量。物理实验除了定 性地观察物理现象外，也需要对物理量进行定量测量，并确定各物理量之间的关系。 5 由于测量设备、环境、人员、方法等方面诸多因素的影响，使得测量值与真实 值并不完全一致，这种差异在数值上表现为误差。随着科学水平的提高和人们的经 验、技巧、专门知识的丰富，误差虽然可以被控制得越来越小，却始终不能把它消 除。因此，对实验中测量获得的数据，要选择合适的方法进行处理，并对其可靠性 做出评价，否则，测量结果是没有价值的。 误差与数据处理理论已发展为一门学科，它涉及的内容丰富，且较为复杂。在 此，将简单介绍大学物理实验中常用的一些初步和基本知识。 1．1 几个基本概念 1．1．1 测量（Measurement） 一、定义 所谓测量，就是借助于专门设备，通过一定的实验方法，以确定物理量值为目 的所进行的操作。它是一个实验比较的过程，即把一个量（待测量）与另外一个量 （标准量）相比较。 测量由测量过程与测量结果组成。 测量过程是执行测量所需的一系列操作。包括建立单位、设计工具、设计测量 方法、研究分析测量结果、寻找减小误差的途径等方面。 测量结果表示由测量所获得的待测量的值，一般由数值、单位和精度评定三部 分组成。 二、分类 从不同的角度考虑，测量有不同的分类法。 按照测量结果获得方法的不同，测量分为直接测量和间接测量。 用预先校对好的测量仪器或量具对被测量进行测量，直接读取被测量数值的大 小，称为直接测量（Direct measurement）。例如，用米尺测物体的长度，用秒表测 时间，用天平与砝码测物体的质量，用电压表（或电流表）测电压（或电流）等都 属于直接测量，相应的被测物理量称为直接测量量。 6 如果待测量的量值是由若干个直接测量量经过一定的函数运算获得的，这种测 量称为间接测量（Indirect measurement） 。例如，体积、密度等物理量的测量往往 采用间接测量，相应的被测物理量称为间接测量量。 实际测量中多数为间接测量，但直接测量简单、直观，是一切间接测量的基础。 按照测量条件的不同，测量可分为等精度测量和非等精度测量。 在相同的测量条件下（同一测量水平的观测者，同一精度的仪器，同样的实验 方法和环境等）对某一待测量所做的重复性测量，称为等精度测量。等精度测量获 得的所有数据的可信赖程度是相同的，在数据处理过程中地位相同，应一视同仁。 尽管实际测量中，很难保证所有条件不变，但由于等精度测量数据处理方法相 对简单，因此只要测量条件变化不大，一般都可近似为等精度测量。大学物理实验 学习阶段，主要考虑等精度测量。 在不同的测量条件下对某一待测量所做的重复性测量，称为非等精度测量。非 等精度测量获得的所有数据的可信赖程度是不同的，在数据处理过程中应按精度高 低，区别对待。 按照被观测对象在测量过程中所处的状态，可分为静态测量和动态测量。 如果待测量在测量过程中是固定不变的，这时所进行的测量为静态测量。静态 测量不需要考虑时间因素对测量结果的影响，应把被测量或误差作为随机变量进行 处理。 如果待测量在测量过程中随时间不断变化，这时所进行的测量为动态测量。动 态测量需考虑时间因素对测量结果的影响，应把被测量或误差作为随机过程来进行 处理。 1．1．2 误差（Error） 一、定义 误差是指测量值与被测量的真值（True value）之差。用式子表示为 误差 、、 、=测量值 、x、-真值 、x0 、 7 （1-1-1） 其中，误差可正可负，反映了测量值偏离真值的程度；测量值是通过测量得到 的被测量的值；真值是某一物理量在一定条件下所具有的客观的、不随测量方法改 变的真实数值。一般情况下，真值是未知的，所以误差的概念只具有理论意义。只 是在某些特殊情况下，真值可认为是已知的，主要包括： 1．理论真值：通过理论方法获得的真值。例如，三角形内角之和为 180°；理 想电容或电感构成的电路，电压与电流的相位差为 90°等。 2．计量学的约定真值：国际计量机构内部约定而确定的真值。例如，7 个 SI 基本单位量的确定，即长度单位米（m）、时间单位秒（s）、电流强度单位安培（A）、 质量单位千克（kg） 、热力学单位开尔文（K） 、物质的量的单位摩尔（mol）、发光强 度单位坎德拉（cd）。 3．标准器的相对真值：当高一级的标准器的误差小于低一级的标准器或普通计 量仪器的误差一定程度后，高一级标准器的指示值可以作为级别低的仪器的相对真 值。 二、误差的分类 根据误差的性质，可将误差分为系统误差、随机误差和疏失误差三类。 1．系统误差（Systematic error） 在同一测量条件下，多次测量同一物理量时，大小和符号保持恒定或随条件的 改变而按某一确定规律变化的误差，称为系统误差。一个完整的测量系统，通常由 实验源、实验体、观测系统、实验环境 4 部分组成，因此系统误差来源可以归纳为 以下几个方面： （1）仪器设备、装置误差 ① 标准器误差 标准器是作为与被测量相比较时提供标准值的器具。例如，标准电池、标准量 块、标准电阻等。由于使用条件或制作不够完善等原因，标准器本身也会产生附加 误差。 8 ② 仪器误差 测量仪器是指能将被测量转化为可直接观测的指示值或等效信息的计量器具。 例如，天平、电桥等比较仪器；温度计、秒表、检流计等指示仪器。仪器设计制造 不完善、调节使用不当、老化等原因都会造成测量误差。 ③ 附件误差 为使测量方便进行而使用的各种辅助配件，均属测量附件。例如，开关、导线、 电源等各种辅助配件也会引起误差。 （2）环境误差 由于各种环境因素，如温度、湿度、压力、震动、电磁场等，与要求的标准状 态不一致而引起的测量装置和被测量本身的变化所造成的误差。 （3）方法误差 由于测量方法或计算方法不完善、不合理等原因引起的误差。例如，瞬时测量 2 2 时取样间隔不为零；用单摆测量重力加速度时，公式 g 、 4、 L / T 的近似性；用伏 安法测电阻时，忽略电表内阻的影响等。 （4）人员误差 由测量人员分辨力有限，感官的生理变化，反应速度及固有习惯等原因引起的 误差。例如，测量滞后与超前、读数倾斜等。 从不同角度，系统误差又可分为不同种类。 按对误差掌握程度，系统误差可分为已定系统误差和未定系统误差。已定系统 误差的大小和符号是可以确定的，如千分尺、电表的零位误差，伏安法测电阻电表 内阻引起的误差等。这类误差可以修正。未定系统误差是大小和符号不能确定，只 能估计出大小变化范围的系统误差，如仪器误差。 按误差的变化规律，系统误差又可分为不变系统误差和变化系统误差。不变系 统误差的大小和符号保持恒定不变。变化系统误差的大小和符号按某一确定规律变 化，如线性、周期性等规律。 9 2．随机误差（Random error） 在同一测量条件下，多次测量同一物理量时，误差的绝对值时大时小，符号时 正时负，以不可预知的方式变化，这种误差称为随机误差。随机误差是由测量过程 中一些随机的或不确定的因素引起的。例如，人的感官灵敏度及仪器精度有限，实 验环境（温度、湿度、气流等）变化，电源电压起伏，微小振动等都会导致随机误 差。由于引起随机误差的因素复杂，又往往交叉在一起，不能分开，因此，随机误 差是无法控制的，无法从实验中完全消除，一般通过多次测量来达到减小的目的。 从一次测量来看，随机误差是随机的。但当测量次数足够多时，随机误差服从 一定的统计规律，可按统计规律对误差进行估计。 3．粗大误差（Gross error） 粗大误差又称疏失误差，它是由于工作人员疏失、仪器失灵等原因造成的超出 规定条件下预期的误差。含有粗大误差的测量值明显偏离被测量的真值，在数据处 理时，应首先检验，并将含有粗大误差的数据剔除。 应当指出，系统误差是测量过程中某一突出因素变化所引起的，随机误差是测 量过程中多种因素微小变化综合引起的，两者不存在绝对的界限，变化的系统误差 数值较小时与随机误差的界限不明显。随机误差和系统误差有时可以相互转化。 三、误差的表示形式 1．绝对误差（Absolute error） 用绝对大小给出的误差定义为绝对误差。用式子表示为 误差 、、 、=测量值 、x、-真值 、x0 、 （1-1-2） 绝对误差是带有单位的数，可正可负。绝对误差反映测量值偏离真值的大小与 方向。 2．相对误差（Relative error） 绝对误差与被测量真值的比值称为相对误差 、E 、。用式子表示为 10 相对误差 、E 、=绝对误差/真值 （1-1-3） 由于一般情况下真值未知，通常用测量值代替真值。相对误差是无量纲数，通 常用“%”表示。相对误差可以反映测量的精度高低。 测量两个长度量，测量值分别为 L1 、 100.0 mm， L2 、 80.0 mm，其测 例 1-1-1 量误差分别为 、1 、 0.8mm， 、2 、 0.7mm。试比较两个测量结果精度的高低。 解： E1 、 E2 、 、1 0.8 、100% 、 、100% 、 0.8% ， L1 100.0 、2 0.7 、100% 、 、100% 、 0.9% L2 80.0 从绝对误差的角度看，第一个量测量值的误差大于第二个量的误差；但从相对 误差的角度来看，第一个量的测量精度却高于第二个量。 3．引用误差（Fiducial error） 引用误差定义为绝对误差与测量范围上限（或量程）的比值，即 引用误差=绝对误差/测量范围上限 （1-1-4） 引用误差通常用“%”表示，主要用于仪器误差的表示，实际是一种简化和使用 方便的仪器仪表的相对误差。仪表量程或测量范围内各点的引用误差一般不相同， 其中最大的引用误差称为引用误差限，去掉引用误差的正负号及“%”后，称为仪器 的准确度等级（Accuracy class） 。电工仪表的准确度等级分别规定为 0.05、0.1、 0.2、0.3、0.5、1.0、1.5、2.0、2.5、3.0 和 5.0 等 11 级。 例 1-1-2 检定 2.5 级，上限为 100V 的电压表，发现 50V 分度点的示值误差为 2V，并且比其它各点的误差大，试问该电表的最大引用误差为多少？该表是否合格？ 解：由引用误差定义可知，该表的最大引用误差为 级的含义， 2% 、 2.5% ，显然该电表合格。 1．1．3 精度（Trueness） 11 2V 、 2% 。根据准确度等 100V 精度又称为精确度，用来描述测量结果与真值的接近程度。它是一个定性的概 念，不能用数值大小来表示，只能讲高低。主要分为 一、精密度（Precision） 精密度用来描述测量结果中随机误差的大小程度，即在一定条件下，进行多次 重复测量时，各测量值之间的接近程度。精密度反映随机误差大小的程度。 二、正确度（Validity） 正确度用来描述测量结果与真值的偏离程度，它反映系统误差的大小程度。 三、准确度（精确度）（Accuracy） 准确度反映系统误差与随机误差综合大小程度。准确度高说明测量结果既精密 又正确。 通过图 1-1 打靶弹着点的分布图，可以形象地说明上述三个概念。图中（a）表 示精密度高，正确度低；图（b）表示正确度高，精密度低；图（c）表示正确度与 精密度都高，即准确度高，或精度高。 （a） 1．1．4 （b） 图 1-1-1 精度示意图 （c） 测量不确定度（Uncertainty） 由于真值的未知性，使得测量误差的大小与正负难以确定。因此，在对测量结 果的质量进行定量评定时，往往只是给出误差以一定的概率出现的范围。而这个用 来定量评定测量结果质量的参数，即为测量不确定度。 一、定义 测量不确定度是表征合理赋予被测量值分散性的一个参数。 12 测 量 不 确 定 度 可 以 用 标 准 差 表 示 ， 称 为 标 准 不 确 定 度 （ Standard uncertainty），用符号 u 表示。如果是几个不确定度的合成，称为合成标准不确定 度（Combined standard uncertainty），用符号 uc 表示。有时也可以将合成标准不 确定度乘以某一倍数，即置信（包含）因子（Coverage factor）k，这时称为扩展 不确定度（Expanded uncertainty），用符号 U 表示。 测量不确定度与测量结果相联系，完整的测量结果表达中，应包括测量不确定 度。例如，某一被测量 x 最佳估计值为 x ，测量的标准不确定度为 u，则结果表示为 x、 x、u 。 测量不确定度有绝对不确定度和相对不确定度两种表示形式。 误差与不确定度是两个不同的概念，不应混淆。误差是客观存在的测量结果与 真值之差，是一个确定的值。但由于真值往往无法知道，因此误差一般不能准确得 到。而测量不确定度是说明测量值分散性的参数，可由人们分析和评定得到，与人 们的认识程度有关。一个测量结果可能误差很小，但由于认识不足，评定得到的不 确定度可能较大；相反，可能测量结果误差较大，由于认识或分析不足，给出的不 确定度却较小。测量误差与不确定度的区别可归纳为以下几方面： 1．测量不确定度是一个无正负的参数，用标准差或标准差的倍数表示。而测量 误差则可正可负，其值为测量结果减去被测量的真值。 2．测量不确定度表示测量值的分散性。误差表示测量结果偏离真值的大小及方 向。 3．测量不确定度受人们对被测量、影响量及测量过程的认识程度影响。而测量 误差是客观存在的，不以人的认识程度而改变。 4．测量不确定度可由人们根据实验、资料、经验等信息进行评定，可以定量确 定。由于真值未知，测量误差往往不能准确得到，只有用约定真值代替真值时，才 可以得到误差的估计值。 5．评定测量不确定度各分量时一般不必区分其性质，需要区分时应表述为： 13 “由随机效应引入的不确定度分量”和“由系统效应引入的不确定度分量”。而测量 误差按性质分为随机误差与系统误差两类。 6．不能用不确定度对测量结果进行修正，对已修正的测量结果进行不确定度评 定时应考虑修正不完善而引入的不确定度。而已知系统误差的估计值时，可以对测 量结果进行修正，得到已修正的测量结果。 误差与测量不确定度既有区别，又有联系。误差理论是估算不确定度的基础， 不确定度是误差理论的补充。 二、测量不确定度的来源 测量过程中影响不确定度的因素比较多，主要可以归纳为以下几方面： 1．被测量的定义不完善及取样代表性不够所引起的测量不确定度。被测量在不 同条件下的值是不一样的，在定义它时，必须考虑到具体的环境条件，否则会引起 由于定义不完整带来的不确定度。例如，定义被测量是一根标称值为 1m 的钢棒的长 度，就属于被测量的定义不完整。因为被测钢棒的长度在测量精度要求比较高时受 温度和压力的影响比较明显，而这些条件没有在定义中说明。完整的定义应为：标 称值为 1m 的钢棒在 20.0℃和 97 453Pa 时的长度。另外，由于测量方法和仪器设备 的限制，往往只能取待测材料的一部分作为样品进行测量，如果待测材料的均匀性 不好，则所取样品的代表性可能不够，由此会引起测量不确定度。例如，测量一批 铜棒的线电阻率时，铜棒的粗细不均匀，或材料的成分不均匀，因此，所取出的一 段样品代表性可能不够。 2．实现被测量定义的方法不理想。按照被测量定义的要求，实际测量中某些条 件达不到，只能采用近似或假定，这时必然会引起不确定度。例如，上述长度测量 中，由于温度和压力达不到定义中的要求，就会引起不确定度。再如，被测量表达 式的近似程度，电测量中由于测量系统不完善引起的绝缘漏电、引线电阻上的压降 等，均会引起不确定度。 3．测量仪器计量性能的局限性。测量中使用的仪器，由于其灵敏度、鉴别力、 14 分辨力及稳定性等方面的局限性，测量过程中都会引起不确定度。 4．作为计量标准的值不准确或引用的数据和参量不准确。通常测量是将被测量 与测量标准的给定值相比较来实现的。因此，作为测量标准的不确定度必然引入测 量结果。另外，测量中还常常要引用一些数据或参量，这些数据或参量的不确定度 也会影响结果。例如，用天平称质量，测量结果的不确定度包含有标准砝码的不确 定度；再如，确定某一温度下热敏电阻的阻值，可以应用已知的温度系数t，该引 用值的不确定度会对结果产生影响。 5．被测量在表面上完全相同的条件下重复测量中的变化。实际工作中有时会发 现，无论如何控制环境条件或其它可能的影响因素，测量结果总有一定的分散性， 这种现象是客观存在的，是由一些随机效应引起的。 6．环境条件对不确定度的影响。测量过程中，由于对环境影响的认识不全面， 或对环境条件的测量与控制不好，会引入一定的不确定度。例如，钢棒长度测量中， 不仅温度和压力会影响长度，还有一些其它因素被忽略。如湿度、支撑方式等都有 明显影响，如果认识不足，测量中没有采取措施，就会引起不确定度。 7．测量人员的人为因素。对非数字显示的仪器，由于观测者观测位置、个人习 惯的不同及生理因素差别等原因，可能对同一状态下的数值得到不同的读数，这些 差异也将产生不确定度。 三、测量不确定度的分类 由上述归纳可知，测量不确定度的来源较多，因而测量不确定度是由许多分量 组成的。而评定各分量值的方法各不相同，按评定方法一般可将其分为两大类： 1．Ａ类分量 用统计方法评定的不确定度称为不确定度Ａ类分量，用 uA 表示。 2．Ｂ类分量 用非统计方法评定的不确定度称为不确定度Ｂ类分量，用 uB 表示。 15 不确定度的分类是按评定方法进行的。它们都基于概率分布，都用方差或标准 差表征，称为标准不确定度。其中Ａ类标准不确定度由观测列概率分布导出的概率 密度函数得到；Ｂ类标准不确定度由一个认定的或假定的概率分布函数得到。不确 定度的分类方法与误差分类相比，避免了由于误差之间界限不绝对，在判断和计算 时不易掌握的缺点。评定不确定度时，不考虑影响不确定度因素的来源与性质，只 考虑评定方法，从而简化了分类，便于评定与计算。 1．1．5 有效数字（Significant figure） 一、定义 有效数字是指能正确表达某物理量数值和精度的一个近似数，由准确数字和可 疑数字组成。（如果该数值绝对误差界是最末位数据的半个单位，那么从这个近似数 左边第一个非零数字起到最后一位数字止，都叫有效数字。 ） 为了便于理解，举一例子加以说明。如图 1-1-2 所示，用最小刻度为 1mm 的米 尺测量一物体的长度，不同的测量者测得结果不同，可能为 2.55cm，2.56cm，2.57cm 等。其中，前两位数是根据米尺的刻度准确读出的，不随观测者变化，是可靠的， 称之为准确数字，最后一位数是在两个刻度之间估计读出的，随观测者个人情况可 能略有不同，显然是不准确的，称为可疑数字。尽管可疑数字不准确，但它能客观、 合理地反映出该物体比 2.5cm 长，比 2.6cm 短的事实，是有效的。因此，测量结果 的有效数字是由若干位准确数字和一位可疑数字组成的。 0 1 2 图 1-1-2 3 4 5 长度测量示意图 学习有效数字应注意以下几个问题： 1．有效数字与测量条件密切相关 从上面测量结果可以看出，测量结果的有效数字位数由测量条件和待测量的大 16 小共同决定。对于大小已定的物理量，测量仪器的精度越高，有效数字位数越多， 因此，有效数字可以在某种程度上反映出测量仪器的精度。例如，上述物体的长度， 用米尺测量是 3 位有效数字，而采用 1/50 游标卡尺测量，可得 4 位有效数字，用千 分尺测量，可得 5 位有效数字；当测量条件一定时，待测量越大，有效数字位数越 多。 2．数字“0”在有效数字中的作用 “0”在数据中的位置不同，可能是有效数字，也可能不是有效数字。如，0.03020m 这个数中共有 4 个“0”，其中数字“3”前面的两个“0”只用来表示小数点位置， 不是有效数字，而其余两个“0”是有效数字，即数字中间和末尾的“0”是有效的。 既然数字末尾的“0”是有效数字，那么就不能在数字的末尾随意加 0 或去掉 0，否则物理意义将发生变化。要注意，一个物理量的测量值和数学上的一个数意义 是 不 同 的 。 数 学 上 ， 0.0302m 与 0.03020m 没 有 区 别 ， 但 在 物 理 上 ， 0.0302m≠0.03020m，因为 0.03020m 中的“2”是准确测量出来的，是可靠的，而 0.0302m 中的“2”则是可疑数字，是不准确的。 由于数字“3”前面的两个“0”只用来表示小数点位置，不是有效数字，那么 数字 0.03020m、3.020cm、30.20mm 的有效数字都是 4 位。因此，在十进制单位进行 换算时，有效数字的位数不应发生变化。如，3.5A 的电流值，若用 mA 单位表示， 不能写成 3500mA，而应采用科学记数法，写成 3.5、103 mA 。 3．不确定度有效数字的确定 一般情况下绝对不确定度只取 1 位有效数字，对重要的、比较精密的测量或其 他特殊情况，可取 2 位或 2 位以上有效数字，相对不确定度可取 1～2 位。本教材如 无特殊说明，绝对不确定度取 1 位有效数字，相对不确定度取 2 位有效数字。 4．有效数字的确定 对于直接测量，有效数字的确定，实际上就是如何读数的问题。 由于测量结果的有效数字应是由若干位准确数字和一位可疑数字组成的，因此， 17 从测量仪器上读取数据时应注意完整性，即除了读取整刻度数值外，还应进行整刻 度以下的估读。特别是读取的数据数值恰好为整数时，则需在后面补“0”，一直补 到可疑位为止。例如，上述物体的末端恰好与刻度 25mm 对齐时，则测量结果应记为 2.50cm，而不能写为 2.5cm。总之，直接测量读数的原则是：应读到仪器产生误差 的那一位。 对于间接测量，间接测量量有效数字的确定，原则上应遵循由不确定度来确定 测量量的有效数字，即间接测量量有效数字的末位与不确定度的末位对齐。例如， 为得到某一长方形面积 S，直接测量其长度和宽度后，经计算得到 S=3.85025cm2， 绝对不确定度 σS=0.02cm2，则面积 S 的正确结果 S=3.85cm2。但在中间运算过程中， 由于参与运算的量可能很多，有效数字的位数可能不一致，使得数据计算显得繁琐 和复杂。 为了简化运算过程，同时又不会造成过大的计算误差，一般可采用以下规则进 行运算： ① 进行加减运算时，应以参与运算各数据中末位数数量级最大的数据为准，其 余各数据在中间计算过程中向后可多取一位，最后结果与末位数数量级最大的那一 位对齐。例如，71.3-0.753+6.262+271=71.3-0.8+6.3+271=347.8=348 ② 进行乘除法运算时，以参与运算各数据中有效数字位数最少的为准，其余数 字在中间运算过程中可多取一位有效数字，最后结果的有效数字与有效数字位数最 少的那个数相同。例如，39.5×4.08437×0.0013=39.5×4.08×0.0013=0.21 乘方和开方运算规则与乘除法运算规则相同，即结果的有效数字与被乘方、开 方数的有效数据位数相同。例如，1.402=1.96， 200、 14.1 ③ 进行函数运算时，结果有效数字一般可根据间接测量不确定度计算公式进行 计算来确定（参见 1．4 节）。对常用的函数，也可按简单规则确定。如，对数函数 运算结果的有效数字中，小数点后面的位数与真数的有效数字位数相同。例如， 18 lg1.983、 0.2973；指数函数运算结果的有效数字中，小数点后面的位数与指数中小 数点后面的位数相同。例如， 106.25 、 1.79、106 。 ④ 间接测量计算过程中，计算公式中还会遇到自然数与常量，例如，球体的面 积 S 与半径 R 有关系式 S 、 4、R2 。式中“4”是自然数， 、 是常量。自然数不是测量 得到的，不存在误差，故有效数字是无穷多位，而不是一位；常量在运算过程中有 效数字位数，不能少于参与运算的各数据中有效数字位数最少的那个数据，一般可 以多取 1 位。 上述所述有效数字的运算规则，只是一个基本原则。实际问题中，为了防止取 舍所造成的误差过大，常常在运算过程中多取几位，特别是随着计算机和计算器的 普及，这种处理不会带来太多的麻烦，只是在最后结果根据不确定度所在位进行截 断。 二、有效数字的舍入（修约）规则 当数字位数较多而需要取舍时，应按以下原则： 1．舍入部分的数值，如果大于保留部分末位的半个单位，则舍去后末位加 1。 2．舍入部分的数值，如果小于保留部分末位的半个单位，则舍去后末位不变。 3．舍入部分的数值，如果等于保留部分末位的半个单位，则舍去后末位凑偶， 即当末位为奇数时末位加 1，末位为偶数时保持不变。 例 1-1-3 按照上述舍入规则，将下面各个数据保留四位有效数字。 解： 原有数据 舍入后数据 3.17152 3.172 5.10150 5.102 5.10250 5.102 4.376501 4.377 4.376499 4.376 19 2.71729 1．2 2.717 误差的处理 1．2．1 随机误差的处理 一、随机误差的分布及其数字特征 1．正态分布（Normal distribution）及特点 尽管单次测量时随机误差的大小与正负是不确定的，但对多次测量来说却服从 一定的统计规律。随机误差的统计分布规律有很多，正态分布是最常见的分布之一。 服从正态分布的随机误差的概率密度（Probability density）函数为 f (、 ) 、 1 、2 2 e 2、 、 、 2、 （1-2-1） 或 f (x) 、 1 、 2、 、 、x、x0 、2 e 2、 2 （1-2-1'） 式中， x 为测量值； x0 为真值； 、 为误差； f 表示在 、 （或 x ）附近单位区间 内，被测量误差（或测量值）出现的概率。分布曲线如图 1-2-1 所示。 f( 、 ) 1.2 -4 -2 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 0 f( 、 ) 1.2 2 、4 -6 图 1-2-1 正态分布曲线 O -4 -2 σ1 σ2 、1 、 、 2 0 2 4 O 图 1-2-2 σ对曲线的影响 由图可以看出，正态分布的随机误差具有以下特点： ① 单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多； ② 对称性（抵偿性）：大小相同，符号相反的误差出现的机会相同； 20 6、 ③ 有界性：实际测量中，超过一定限度（如 、3、 ）的绝对值更大的误差一般不 会出现。 2．数字特征 数学期望与方差是定量描述统计规律分布的两个重要参数。 根据式（1-2-1）或（1-2-1'），满足正态分布的随机变量 、 或 x ，其数学期望 为 、、 E (、 ) 、 、 、f (、 )d、 、 0 （1-2-2） 、、 （1-2-2'） 、、 或 E (x) 、 、、、 xf(x)dx、 x0 上式说明，对于无限次测量，测量值的数学期望等于真值，或误差的数学期望 等于零，即随机误差具有抵偿性。 根据式（1-2-1）或（1-2-1'） ，满足正态分布的随机变量 、 或 x ，方差 D 及标 准差（Standard error） 、 为 、、 D(、 ) 、 、、、 、 2 f (、 )d、 、 、 2 （1-2-3） 或 、、 D ( x) 、 、 、x 、 x0 、2 f ( x) dx 、 、 2 （1-2-3'） 、 、 D(x) （1-2-4） 、、 标准差 方差与标准差反映测量值与真值的偏离程度，或各测量值之间的离散程度。标 准差或方差越小，离散程度越小，测量的精密度高；反之，离散程度越大。如图 1-2-2 所示。 标准差 、 的物理意义也可以从下面这一角度理解： 根据概率密度函数的含义，误差出现在 、、 ,、 、 d、 、范围内的概率为 f 、、 、d、 ，则误 21 差出现在区间 、、 、 ,、 、内的概率为 P 、 、、、 f 、、 、d、 、 68.3% 、 （1-2-5） 上式表示，在一组测量数据中，有 68.3%的数据测量误差落在区间 、、 、 ,、 、内。 也可以认为，任一测量数据的误差落在区间 、、 、 ,、 、内的概率为 68.3%。把 P 称作置 信概率（Confidence probability），而 、、 、 ,、 、称为 68.3%的置信概率所对应的置信 区间（Confidence interval）。 更 广 泛 地 ， 置 信 区 间 可 由 、、 k、 ,k、 、表 示 ， k 称 为 包 含 因 子 （ 或 置 信 因 子 ） （Coverage factor），可根据需要选取不同大小的值。如，除了上述 k 、 1的情况， 还经常取 k 、 2 或 3，这时的置信区间分别为 、、2、 ,2、 、和 、、 3、 ,3、 、，对应的置信概率 为 95.5%和 99.7%。 可以看出，如果置信区间为 、、 3、 ,3、 、，则测量误差超出该区间的概率很小，只 有 0.3%，即进行 1000 次测量，只有 3 次测量误差可能超出 、、 3、 ,3、 、。对于有限次测 量（次数少于 20 次），超出该区间的误差可以认为不会出现，因此常将 、3、 称为极 限误差（Limit error）。 二、算术平均值与标准偏差 对真值为 x0 的某一量 x 做等精度测量，得到一测量列 x1、 xn ，则该测量列的算 术平均值为 n 、 xi x 、 i 、1 n （1-2-6） 若测量数据中无系统误差和粗大误差存在，由正态分布随机误差的对称性特点 和数学期望、标准差含义可知，在测量次数 n 、 、 时，有算术平均值 n 、 xi x 、 limi 、1 、 x0 n n、 、 测量列标准差 22 （1-2-7） n 、 、xi 、 x0 、 2 、 、 lim i 、1 n、 、 （1-2-8） n 在实际测量中，测量次数总是有限的，且真值不可知。因此，对于等精度测量 列，可以用算术平均值作为真值的最佳估计值。而测量列标准差也需通过估计获得。 估计标准差的方法很多，最常用的是贝塞尔法，即子样标准差。公式为 n S、 、 、xi 、 x、 n 2 i 、1 n 、1 、 、 vi2 i 、1 （1-2-9） n 、1 式中 vi 、 xi 、 x ，称为残差 （Residual error）。 由于算术平均值也是一个 随机变量，进行多组等精度重 复测量时得到的算术平均值具 有离散性。描述该离散性的参 Sx 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 o 0 数是算术平均值的标准差，由 5 10 n 15 20 图 1-2-3 测量次数对 Sx 的影响 误差理论可以证明，算术平均 值标准差与测量列（或单次测量）标准差之间的关系为 、x 、 、 n （1-2-10） 由式（1-2-10）可看出，平均值的标准差比单次测量的标准差小。随着测量次 数的增加，平均值的标准差越来越小，测量精密度越来越高。但当测量次数 n 、 10 以后，次数对平均值标准差的降低效果很小。如图 1-2-3 所示。所以，不能够单纯 通过增加次数来提高测量精度。在科学研究中测量次数一般取 10～20 次，而在大学 物理实验中一般取 5～10 次。 当测量次数有限时，根据式（1-2-9）与式（1-2-10），算术平均值的标准差可 由下式进行估计 23 n Sx 、 、 、xi 、 x、 n 2 i 、1 n、n 、 1、 、 vi2 i 、1 、 n、n 、 1、 （1-2-11） 本教材中，就是采用（1-2-9）和（1-2-11）式来计算直接测量量的标准差。 1．2．2 系统误差的处理 任何测量误差均由随机误差和系统误差两部分组成。因此，为了提高测量精度， 在减少随机误差的同时，还应考虑系统误差的处理。研究系统误差的重要性主要体 现在以下几个方面： ① 随机误差的基本处理方法是统计方法，它的基本前提是完全排除了系统误差 的影响，认为误差的出现纯粹是随机的。因此，实际测量中，必须设法最大限度的 消除系统误差的影响，否则，随机误差的研究方法及由此而得出的精度评定就失去 了意义。 ② 系统误差与随机误差不同，尽管有确定的变化规律，但往往隐藏于测量数据 中，不易被发现。又因系统误差往往各自服从自己独特的规律，在处理时，没有一 种通用的处理方法，只能具体情况具体分析。处理方法是否得当，很大程度上取决 于测量者的经验、知识和技巧。所以，系统误差虽然有规律，但处理起来要比随机 误差困难的多，必须认真研究。 ③ 对于系统误差的研究，可以发现一些新事物。例如，惰性气体是通过对不同 方法获取的实验数据进行误差分析而发现的。 一、系统误差的发现 系统误差往往隐藏于测量数据中，不易被发现，也不能通过多次测量来消除。 因此，发现系统误差对后续的处理是致关重要的。发现系统误差的常用方法有以下 几种。 1．理论分析法 包括分析实验所依据的理论和实验方法是否完善；仪器的工作状态是否正常， 要求的使用条件是否得到满足；实验人员在实验过程中是否有产生系统误差的心理 24 和生理因素等。 2．对比测量法 通过改变实验方法、测量方法、实验条件（如仪器、人员、参数等）等手段， 对测量数据进行比较，对比研究数据之间的符合性，从而发现系统误差。 3．数据观察与分析法 在无其它误差存在的情况下，随机误差是服从统计规律的，如果测量结果不符 合预想的统计规律，则可怀疑存在系统误差。对于一测量列，可采用列表或作图的 方法，观察残差随测量顺序的变化规律，如有明确的变化规律（如线性、周期性 等），则可判断存在系统误差，否则，无理由怀疑存在系统误差。另外，也可以采用 按统计规律建立的方法进行判断，如残差校核法（又称马利科夫准则）、阿贝－赫梅 特准则等。 二、系统误差的处理 1．从产生误差根源上消除 测量之前，先对所采用的原理和方法及仪器环境等做全面的检查和分析，确定 有无明显能产生系统误差的因素，并采取相应措施，不让系统误差在实验过程中出 现。 例如，为了防止系统误差产生，对仪器设备的工作状态进行调节、检查测量方 法和计算方法是否合理、在稳定的环境条件下进行测量等。 2．实验过程中采取相应措施消除 对难以避免的系统误差，有时测量过程中也可以采用一些专门的测量技术或方 法使其减小或消除。常用的方法有： ① 替代法 在一定条件下，对某一被测量进行测量后，不改变测量条件，再以一个标准量 代替被测量，并使仪器呈现与以前相同的状态，此时的标准量即等于被测量值。这 样就消除了除标准量本身的定值系统误差以外的其它系统误差。例如，用替代法测 量电阻。 25 ② 异号法 改变测量中的某些条件（例如改变测试部件左右移动的方向、变换接线端上的 接线、改变导线中电流方向等） ，保证其他条件不变，使两次测量结果中的系统误差 的符号相反，通过求取平均值，可以消除系统误差。例如，灵敏电流计（光点反射 式）测电流时，改变流经电流计的电流方向，使指针左右偏转，求平均可以消除起 始零点不准引入的系统误差；拉伸法测量杨氏模量实验中，采用加减砝码的方法， 记录不同拉力时的两组读数，最后对同一拉力的两个读数求平均，可以消除钢丝形 变滞后效应引起的系统误差。 ③ 交换法 交换法实质也属于异号法。它是将测量中的某个条件（如被测对象的位置等） 相互交换，使产生的系统误差相互抵消。例如，用天平称量物体质量时，可将待测 物与砝码交换位置，以消除天平不等臂所产生的系统误差。滑线电桥测量电阻时， 可以交换被测电阻和标准电阻的位置，以消除接触电阻产生的系统误差。 ④ 差值法 差值法是通过改变实验参数（如自变量）进行测量，并对测量数据求差值来来 获取未知量的方法。这种方法可以消除某些定值系统误差。例如，伏安法测量电阻 实验中，改变电压读取电流值，通过差值法可以消除电表零位不准带来的系统误差。 同样，在差值法基础上发展起来的逐差法，也具有消除系统误差的作用。 3．采用修正方法对结果进行修正 实验后，如果系统误差可以通过实验或计算得到其符号和大小，那么在实验结 果中可以引入修正值加以消除。例如，对仪器、标准件等事先做检定，可以得到修 正曲线或修正值，然后修正实验结果；某些量具或仪表的零点误差的修正等。 上述只是给出了部分针对定值系统误差的处理方法，如果系统误差是变化的， 可根据系统误差的变化规律，采用合理的方法进行处理。例如，测量中还可用“对 称测量法”消除线性变化的系统误差；用“半周期偶次测量法”可以消除周期性变 26 化的系统误差等。实际测量过程中，由于系统误差的复杂性，处理系统误差的方法 与措施是多种多样的，这在很大程度上取决于实验人员的经验和知识水平。对于未 定系统误差，一般无法修正或消除，这时可估计出误差限，在结果中予以表示。 1．2．3 粗大误差的处理 含有粗大误差的测量值（称为异常值或坏值）必然导致测量结果的失真，从而 使测量结果失去可靠性和使用价值，数据处理时应设法从测量数据中剔除；另一方 面，测量数据含有随机误差和系统误差是正常现象，通常测量值具有一定程度的分 散性，因此不能随意地将少数看起来误差较大的测量值作为异常值剔除，否则，所 得结果是虚假的。因此，建立一些法则来判断实验数据的合理性是必要的，通常粗 大误差的判别方法分为 一、物理判别法 在测量过程中，及时分析和研究测量的各环节，若发现某数据明显不符合物理 规律，找出造成粗大误差的原因，并将含有粗大误差的数据及时剔除。这种通过直 观分析、研究各测量环节来消除异常值的方法称为物理判别法。 二、统计判别法 对于不明显的粗大误差，在测量中难以发觉，可在测量结束后，对所有的测量 数据用统计的方法进行判别检验。 统计判别法的基本思想是：在无系统误差的前提下，根据随机误差的统计规律， 建立一个统计量，给定显著水平（或置信概率），确定出该统计量的界限，凡是超过 这个界限的误差，就认为不属于随机误差范畴，而是粗大误差，相应的测量值为异 常值，应剔除。如此反复，直至没有异常值。例如，莱以达准则中，对测量次数超 过 10 的一测量列 x1, x2 ,、 , xn ，以极限误差 、3、 作为判断标准，并根据公式（1-2-9） 计算出它的估计值 、3S 。按照正态分布随机误差的特点，在有限次测量中，超出该 极限误差的数据不会出现，如果出现则视为坏值，因此可以检验每一个测量值的残 差，若 xi 、 x 、 3S ，则可以确定 xi 为坏值予以剔除。对剔除坏值后的测量列数据再 27 重复进行判断，直到无坏值为止。除此之外，肖维勒准则、格拉布斯准则等，也都 是常用的判别粗大误差的方法，在此不做详细介绍。 需要注意，若应用统计判别法判断出的异常值过多，应对样本的代表性进行检 验，确认假设的统计分布规律是否合理，所采用的方法条件是否满足。 1．2．4 仪器误差 1．仪器的极限误差 仪器误差属于未定系统误差，它是由多种因素引起的，规律比较复杂，一般只 给出最大允许误差的估计值，这个估计值即为仪器的极限误差，用 、 、 表示。仪器 的极限误差，一般由计量部门检定，具体数值可通过仪器说明书或标牌指示计算得 到。有些仪器的极限误差或准确度等级无明确标示，这时，如果是数字式仪表，则 可取末位数 1 个单位为极限误差，如果是通过刻度读数的仪器，可以取最小分度的 一半作为极限误差。 2．仪器误差的分布 与随机误差相同，由于影响因素的多种多样，仪器误差也存在不同的分布。但 如果仪器的精度不高，一般情况下，仪器误 f(Δ) 差的分布近似服从均匀分布（Rectangular distribution ）， 即 在、 、 、 、 、 、 、 、 范 围 内，各种误差出现的概率相同，区间外出 现的概率为零。服从均匀分布误差的概率 -Δ仪 图 1-2-4 密度函数为 O Δ仪 Δ 均匀分布曲 线 、 1 、 f 、、 、、 、2、 、 、0 、 、 、 、、 、 、 、、 图 1-2-4 给出均匀分布的曲线。 可以推导，均匀分布的数学期望、方差和标准差为 28 （1-2-12） E 、、 、、 0 数学期望 1．3 （1-2-13） 、2仪 方差 D、、 、、 标准差 、 、 D、、 、、 （1-2-14） 3 、仪 （1-2-15） 3 直接测量的数据处理 对某一量 x 做等精度直接测量，得到一测量列 x1、 x2、、 、 xn ，经判断无已定系 统误差和粗差后，对该直接测量列的处理主要包括以下几方面： 1．3．1 最佳估计值 根据前面的讨论，算术平均值 n 、 xi x 、 i 、1 n （1-3-1） 可以做为直接测量量的最佳估计值。 1．3．2 不确定度评定 一、A 类评定（Type A evaluation） 直接测量量的标准不确定度 A 类分量用算术平均值的标准差估计公式计算，即 n uA 、 Sx 、 n 、 、xi 、 x、 2 、 vi2 i 、1 、 n、n 、 1、 i 、1 n、n 、 1、 （1-3-2） 二、B 类评定（Type B evaluation） 本课程只考虑仪器误差的影响，标准不确定度 B 类分量为 uB 、 、 、 、 、、 3 （1-3-3） 三、合成不确定度（Combined uncertainty） 假设不确定度各分量之间相互独立，则合成标准不确定度为 uc 、 uA2 、 uB2 （1-3-4） 根据需要，有时将合成标准不确定度乘以某一倍数，得到扩展不确定度为 29 U 、 kuc （1-3-5） 式中的 k 为包含因子，它在确定的分布下与某个置信概率相对应，因此，在结 果表示时应注明置信概率。一般精度要求不高时，可近似按正态分布处理， k 取 2～ 3。 1．3．3 测量结果的表示 在得到测量值和合成标准不确定度后，测量结果通常写为 x 、 x 、 uc （单位）（P=68.3%） （1-3-6） uc (、 、100%、 x （1-3-7） 相对不确定度为 E、 如果用扩展不确定度表示，则测量结果为 x 、 x 、 U （单位）（ P 、 ? ） （1-3-8） 书写测量结果时应注意： 1．合成标准不确定度或扩展不确定度有效数字的取位 一般情况有效数字取 1～2 位，大学物理实验阶段，要求测量结果的不确定度有 效数字取 1 位，为减小计算误差，中间过程的不确定度各分量有效数字可以多保留 1 位。相对不确定度的有效数字取 2 位。 按照这些约定对不确定度进行修约时，修约规则执行“1/3”原则，即如果要取 舍的数字大于有效数字末位的 1/3 单位时，进位；否则，舍去。例如，不确定度计 算数据为 0.0234，有效数字取 1 位时，应为 0.03；若为 0.0232，则应为 0.02。 2．测量结果有效数字的取位 测量结果有效数字的最后一位应与不确定度的末位对齐。测量结果有效数字取 位时，应遵循“1/2”的修约规则，详见 1．1．5 节内容。例如，对某长度量测量算 术平均值为 2.5431cm，不确定度为 0.0324cm，结果表示为 L 、 、2.54、 0.03、cm 30 （1-3-9） 1．3．4 直接测量数据处理步骤及举例 一、数据处理步骤 根据 1．2 及 1．3 节的主要内容，对直接测量列 x1, x2 ,、 , xn 进行处理的步骤可 归纳为： 1．判断测量数据中有无已定系统误差，并消除或尽量减小其影响； 2．检验数据的合理性，发现含有粗大误差的测量数据后，将该数据剔除，再将 剩余数据进行判别，直到没有粗大误差为止；（大学物理实验阶段主要在实验过程 中进行判断，用统计法对数据的判断不做要求） 3．对经过检验无已定系统误差和粗大误差的数据，由公式（1-3-1）求算术平 均值作为测量结果的最佳值； 4．求残差 vi 、 xi 、 x 、i 、 1,2,、 , n、，并由公式（1-3-2）计算出算术平均值的标准 差 Sx 作为不确定度 A 类分量 uA ； 5．根据仪器误差 、 、 ，由公式（1-3-3）计算不确定度 B 类分量 uB ； 6．由公式（1-3-4）、（1-3-7）求合成标准不确定度 uc 、相对不确定度 E ，必 要时按公式（1-3-5）求出扩展不确定度 U ； 7．结果表示 x 、 x 、 uc （单位）（P=68.3%） E、 uc (、 、100%、 x 二、数据处理举例 例 1-3-1 用 0～25mm 的一级千分尺测钢球的直径 6 次，测量数据为 D、、mm、：3.115，3.122，3.119，3.117，3.120，3.118 若千分尺的零点读数为-0.006mm（即测量端对齐时，零刻度线在准线以上） ，测 31 量数据中不存在粗大误差，求测量结果。 解： 1．由于千分尺的零点不准，存在定值系统误差，按 D 、 、D、、 0.006、mm进行 修正，得 D、mm、：3.121，3.128，3.125，3.123，3.126，3.124 注：也可先求算术平均值，再进行修正。 2．修正后直径的算术平均值 D 、 3.1245 mm 注：为防止计算误差过大，多取 1 位有效数字。 3．求不确定度 A 类分量 6 uA 、 SD 、 、i 、Di 、 D 、 、1 2 n、n 、1、 、 0.00099 mm （1-3-10） 4．求不确定度 B 类分量 按 国 家 计 量 标 准 ， 测 量 范 围 为 0 ～ 100mm 的 一 级 千 分 尺 的 仪 器 极 限 误 差 、 仪 、 0.004mm，故 uB 、 、仪 3 、 0.0023 mm （1-3-11） 5．求合成标准不确定度 2 、、 仪 、 uc 、 uA 、 uB 、 SD 、 、 、 、 、 、 0.003mm 、 3、 2 2 2 （1-3-12） 6．结果表示为 、P 、 68.3%、 、D 、 、3.124、 0.003、mm 、 、 0.003 E、 、100% 、 0.096% 、 0.1% 、 3.124 、 32 （1-3-13） 1．4 间接测量的数据处理 设间接测量量 y 与直接测量量 x1, x2 ,、 , xk 的函数关系为 y 、 f 、x1, x2 ,、 , xk 、 （1-4-1） 各直接测量量按 1．3 节步骤处理后的结果为 x1 、 x1 、 u1 x2 、 x2 、 u2 （1-4-2） 、、、、、 xk 、 xk 、 uk 1．4．1 间接测量量的最佳值 可以证明，间接测量量的最佳值用式 y 、 f 、x1, x2 ,、 , xk 、 （1-4-3） 求得。 1．4．2 间接测量量不确定度合成 由于间接测量量 y 与 k 个直接测量量有关，因此，间接测量量的不确定度由各 直接测量量的不确定度决定。如果各直接测量量之间是相互独立的，由统计理论可 推出 2 2 2 、 、f 、 、 、f 、 、 、f 、 、 uc 、y、、 、 、、x u1 、 、 、、 、、x u2 、 、 、、 、 、 、、x uk 、 、 1 、 、 2 、 、 k 、 u 、y、 E、 c 、 y 式中 2 2 （1-4-4） 2 、、 ln f 、 、、 ln f 、 、、 ln f 、 、 、 、 、x u1 、 、 、、 、 、x u2 、 、 、、 、 、 、 、x uk 、 、 1 、 、 2 、 、 k 、 （1-4-5） 、ln f 、f 及 （ i 、 1、2、、 、 k ）称为传播系数。 、xi 、xi 对于加减运算的函数，先用（1-4-4）求不确定度 uc ，再用 uc 求相对不确定度 E y 比较简单；而对乘除运算的函数，先用（1-4-5）求相对不确定度 E ，再用 E 、y 求 33 不确定度 uc 、y、比较简单。 1．4．3 间接测量数据处理步骤及举例 一、数据处理步骤 1．按直接测量数据处理步骤，求出各直接测量量的测量结果 x1, x2 ,、 , xk 和不确 定度 u1, u2 ,、 , uk ； 2．按公式（1-4-3）求间接测量量的最佳估计值 y ； 3．用不确定度计算公式（1-4-4）和（1-4-5），分别求出 y 的不确定度 uc 和相 对不确定度 E ； 4．结果表示 、 y 、 、y 、 uc 、、、 、 、E 、 uc 、、 、100%、 、 y 、 、P 、 、、 二、数据处理举例 例 1-4-1 用一 0～25mm 的一级千分尺测圆柱体的直径和高度各 6 次，测量数 据如表 1-4-1。 表 1-4-1 圆柱体直径和高度的测量数据 测量次数 1 2 3 4 5 6 直径 d/mm 6.075 6.087 6.091 6.060 6.085 6.080 高度 h/mm 10.105 10.107 10.103 10.110 10.100 10.108 若测量数据无已定系统误差和粗大误差，试求该圆柱体的体积。 解：显然，体积 V 为间接测量量，直径 d 与高度 h 为直接测量量，故应按间接 测量数据处理方法来求测量结果。 1．直径 d 的处理 （1）最佳值 d 34 6 、 di d 、 i 、1 、 6.0797mm 6 （2）不确定度 ud 、 、di 、 d 、 6 A 类分量 uA 、d、、 Sd 、 2 i 、1 6、6 、 1、 、 0.0045mm 按技术规程，所用一级千分尺的极限误差 、 、 、 0.004mm，则 B 类分量 uB 、d、、 、、 、 0.0023mm 3 2 d 的合成不确定度 、、 、 、 、 、 0.0051mm ud 、 uA 、 uB 、 Sd 、 、 、 、 、 3、 2 2 2 注：上述各计算结果的有效数字，都比有效数字运算规则和不确定度取位规则 要求的位数多一位，目的是减小后续计算误差。以下类同。 2．高度 h 的处理 （1）最佳值 h 6 、 hi h 、 i 、1 6 、 10.1055mm （2）不确定度 uh 、 、hi 、 h、 6 A 类分量 uA 、h、、 Sh 、 2 i 、1 6、6 、 1、 、 0.0015mm 按技术规程，所用一级千分尺的极限误差 、 、 、 0.004mm，则 B 类分量 uB 、h、、 、、 3 、 0.0023mm 2 h 的合成不确定度 、、 、 、 、 、 0.0027mm uh 、 uA 、 uB 、 Sh 、 、 、 、 、 3、 2 2 2 3．体积 V 的处理 35 （1）最佳值 V 1 4 V 、 、d 2h 、 293.367mm3 （2）合成不确定度 uc 、V 、 体积 V 与高度和直径之间的函数为简单乘除关系，所以选用（1-4-5）式先求相 对不确定度 E u 、V 、 、、 lnV 、 、、 lnV 、 E、 c 、 、 uh 、 、 、 ud 、 、 y 、 、h 、 、 、d 、 2 体积的合成不确定度 2 2 2 、uh 、 、 ud 、 、 、 、 、2 、 、 0.0017、 0.17% 、h 、 、 d 、 、 、 、 、 uc 、V 、、 V 、E 、 0.5 mm3 （3）最终结果为 V 、 、293.4 、 0.5、mm3 E 、 0.17% 1．5 、P 、 68.3%、 数据处理的几种常用方法 数据处理是实验的重要组成部分，它贯穿于实验的自始至终，与实验操作、误 差分析及评定形成一有机整体，对实验的成败、测量结果精度的高低起着至关重要 的作用。 数据处理的能力，往往代表着实验者水平的高低。高明的实验者可以利用精度 不高的仪器，通过选择合适巧妙的数据处理方法，如作图法、列表法、逐差法和最 小二乘法等，发现极其有价值的自然规律或自然界的新事物。因此，掌握基本的数 据处理方法，提高数据处理的能力，对提高实验能力是非常有用的。 1．5．1 列表法 列表法是实验中常用的记录数据、表示物理量之间关系的一种方法。它具有记 录和表示数据简单明了，便于表示物理量之间对应关系，在测量和计算过程中随时 检查数据是否合理，及早发现问题及提高处理数据效率等优点。列表的要求如下： ① 简单明了，便于表示物理量的对应关系，处理数据方便。 36 ② 表的上方写明表的序号和名称，表头栏中标明物理量、所用单位和量值的数 量级等。 ③ 表中所列数据应是正确反映结果的有效数字。 ④ 测量日期、说明和必要的实验条件记录在表外。 例 1-5-1 刚体转动法测量转动惯量见表 1-5-1。 表 1-5-1 r 、 t 对应数值表 r /cm t /s 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 1 13.55 8.80 6.70 5.65 4.60 2 13.50 8.90 6.80 5.60 4.50 3 13.40 8.85 6.70 5.70 4.60 4 13.42 8.85 6.73 5.65 4.57 平均值 13.47 8.85 6.73 5.65 4.57 0.07424 0.113 0.149 0.177 0.219 i 1 t （s-1） 注： r －绕线半径； t －下落时间。 1．5．2 作图法 一、作图法的优点 1．能够直观地反映各物理量之间的变化规律，帮助找出合适的经验公式。 2．可从图上用外延、内插方法求得实验点以外的其他点。 3．可以消除某些恒定系统误差。 4．具有取平均、减小随机误差的作用。 5．通过作图还可以对实验中出现的粗差做出判断。 37 二、作图规则 1．根据各量之间的变化规律，选择相应类型的坐标纸，如毫米直角坐标纸、双 对数坐标纸、单对数坐标纸等；坐标纸的大小要适中，一般应根据测量数据的有效 数字来确定。 2．正确选择坐标比例，使图线能均匀位于坐标纸中间；两坐标轴的交点可以不 为零。 3．写明图名及各坐标轴所代表的物理量、单位和数值的数量级。 4．用削尖的铅笔把对应的数据标在图纸上，描点应采用“×”、 “△”、 “○”等 比较明显的标识符号。 5．对变化规律容易判断的曲线以平滑线连接，曲线不必通过每个实验点，各实 验点应均匀分布在曲线两边；难以确定规律的曲线可以用折线连接。图 1-5-1 和图 1-5-2 给出了两种不同连线方法的例子。 38 7 U/V 6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 I/mA 图 1-5-1 按平滑规律变化连线 （小灯泡伏安特性曲线） △U /V 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 U /V -0.2 -0.3 图 1-5-2 按折线规律变化连线 （电压表校准曲线） 三、作图法的应用 作图法的应用主要表现在以下两方面。 1．判断各量的相互关系—图示法 通过作图可以判断各量的相互关系，特别是在还没有完全掌握科学实验的规律 情况下，或还没有找出合适的函数表达式时，作图法是找出函数关系式并求得经验 39 公式的最常用的方法之一。如二极管的伏安特性曲线、电阻的温度变化曲线等，都 可从图上清楚地表示出来。 2．图上求未知量—图解法 （1）从直线上求物理量 线性关系的函数中未知量往往包含在斜率和截距之中。例如，匀速直线运动 s 、 s0 、 vt，若作 s 、 t 直线，其斜率就是速度，截距为运动物体的初始位置。因此， 从直线上可以通过求斜率和截距来获取未知量。 求斜率时要在图中接近实验范围的两端，从直线上取两点 (x1, y1) 和 (x2, y2 ) ，一 般应避免使用实验点，则斜率为 k、 y2 、 y1 x2 、 x1 （1-5-1） 截距的求法是：把图线延长到 x 、 0 时， y 的值即为截距。如果 x 坐标轴的起点 不为零，则利用图线上第三点的数据 (x3, y3) ，代入公式 y 、 a 、 kx求出，即 a 、 y3 、 y2 、 y1 x3 x2 、 x1 （1-5-2） （2）非线性函数中未知量的求法—曲线改直问题 物理实验中经常遇到的图线类型如表 1-5-2 所示。由于直线是最能够精确绘制 的图线，因而总希望通过坐标代换将非直线变成直线。这被称为曲线改直技术。 表 1-5-2 常见图线类型 图线类型 方程式 例子 物理公式 直线 y 、 ax、 b 金属棒的热膨胀 Lt 、 (L0a)t 、 L0 抛物线 y 、 ax2 单摆的摆动 L 、 gT2 / 4、 2 双曲线 xy、 a 波意耳定律 PV 、 常数 指数函数曲线 y 、 Ae、Bx 电容器放电 t RC q 、 Qe 40 、 如表 1-5-2 单摆的摆动一例中，单摆的摆长 L 随周期 T 的变化关系，具有 y 、 axb 形式（ a 、 b 为常量） 。若观测单摆的周期 T 随摆长 L 的变化，得到一系列数据 (Ti , Li ) 、i 、 1,2,、 ,n、，如果在直角坐标纸上画出 L 、 T 曲线，则得到一条抛物曲线；如用 L 作 纵轴， T 2 作横轴，结果将得到一条通过原点的直线，其斜率等于 g /(4、 2 ) ，从图上 求出斜率后，可以计算出实验所在地的重力加速度。 对上述 y 、 axb 函数形式，也可以将方程两边取对数（以 10 为底），得到 lg y 、 b 、lg x 、 lga 在直角坐标纸上， 以 lg y 为 纵 坐 标 lg x 为 86 R/Ω 横坐标作图，可得到一 85 条直线，从而可以求出 P2(47.4,84.48) 84 系数 a 和 b 。 再如，电容器的放 、 t 电过程 q 、 Qe RC ，具有 y 、 AeBx 形式， A 、 B 83 82 81 80 P3(31.9,80.00) 为常数。对这种形式的 函数，两边取对数得到 79 ln y 、 Bx、 ln A 78 显 然 ， ln y 和 x 具 77 有线性关系，在直角坐 标纸上呈现一条直线。 P1(20.9,76.76) t/℃ 76 10 20 30 40 50 电阻随温度变化曲线 图 1-5-3 电阻随温度变化曲线 通过求斜率和截距可以 41 60 求出常数 A 和 B 。对于其他较为复杂的关系式，也可用类似 的方法处理。读者若有兴 趣，可以参考数据处理方面的专著。 3．作图举例 例 1-5-2 为确定电阻随温度变化的关系式，测得不同温度下的电阻值如表 1-5-3，试用作图法作出 R－t 曲线，并确定关系式 R 、 a 、 bt 。 表 1-5-3 R－t 对应数值表 t /℃ 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0 R/、 76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10 解：选用直角坐标纸作图，横坐标表示温度，最小刻度为 1.0℃；纵坐标表示 电阻 R ，最小刻度为 0.1Ω。如图 1-5-3 所示。 在图中任选两点 P1（20.9，76.76）和 P2（47.4，84.48），由公式（1-5-1）得 到斜率 b、 、 84.48、 76.76 、 0.291、 ·℃、1 47.4 、 20.9 、 由于图中无 t 、 0点，将第三点 P3（31.9，80.00）代入公式（1-5-2）得到截距 a 、 80.00、 0.291、 31.9 、 70.72、 因此电阻与温度的关系为 R 、 70.72 、 0.291t 1．5．2 逐差法 所谓逐差法，就是把测量数据中的因变量进行逐项相减或按顺序分为两组进行 对应项相减，然后将所得差值作为因变量的多次测量值进行数据处理的方法。逐差 法是实验中常用的一种数据处理方法，特别是当变量之间存在多项式关系，且自变 量等间距变化时，这种方法更显现出它的优点和方便。 一、逐差法的主要应用及特点 下面以一个例子来说明。 42 例 1-5-3 用伏安法测电阻，所得数据如表 1-5-4 所示。 表 1-5-4 伏安法测电阻数据表 i 1 2 3 4 5 6 Ui / V 0 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 I i / mA 0 3.85 8.15 12.05 15.80 19.90 、 1I 、 (I i 、1 、 I i ) / mA 3.85 4.30 3.90 3.75 4.10 、 1I 、 (I i 、3 、 I i ) / mA 12.05 11.95 11.75 表中 I i 为电压等间距变化时的电流测量值。 解：逐项逐差 、 1I 、 I i 、1 、 I i 得表中第 4 行数据。通过逐项逐差，使原来在不同 电压下测得的电流值变为在相同电压 、U 、 2V 下多次测量的电流值，最佳估计值即 算术平均值为 n、1 、 、1I i I 、 I 、1I 、 i 、1 、 6 1 n 、1 5 隔 3 项逐差得表中第 5 行数据。采用隔 3 项来处理，电压每次改变 、U 、 6 V 时 电流改变值的算术平均值为 、 3I 、 (I 4 、 I 1) 、 (I 5 、 I 2 ) 、 (I 6 、 I 3) 3 可以看出，逐项逐差值的算术平均值只与首尾两次测量值有关，其它值在运算 过程中相互抵消，从而失去了多次测量的意义，因此逐项逐差不宜用来求未知量。 而隔 3 项逐差则充分利用了所有数据，可大大降低了随机误差对结果的影响。同样 可以证明，隔 2 项逐差仍不能充分利用数据。所以，数据处理应按隔 3 项（即 n/2 项）逐差进行， 、 3I 、 11.92mA。 由欧姆定律可得电阻 R、 、U 、 3I 、 6.00 11.92、10、3 43 、 503.4 、 503（ 、 ） 还可以看出，逐项逐差结果 、1I 值趋于某一常数，这与 I 、 U 所遵循的线性关 系有关。可以验证，如果变量之间为二次多项式形式，则在一次逐项逐差的基础上 进行两次逐项逐差所得值也趋于某一常数。依次类推。因此，往往用逐项逐差来验 证多项式的形式，即若一次逐项逐差值趋于某一常数，则说明变量间具有线性关系； 若经两次逐项逐差值趋于某一常数，变量之间具有二次多项式形式；依次类推。 归纳上述讨论，逐差法主要可以用来验证多项式、通过计算线性函数的斜率求 物理量。除此之外，还可以用逐差法来发现系统误差或实验数据的某些变化规律。 从例子中的数据处理过程可以看出，逐差法具有下列优点： 1．充分利用了测量所得的数据，对数据具有取平均的效果。如例中所有数据都 参与了运算。 2．可以消除一些定值系统误差，求得所需要的实验结果。如用电流表测量时如 果存在零点误差，进行了差值运算，结果就不受零点误差的影响。 二、逐差法的应用条件 在具备以下两个条件时，可以用逐差法处理数据。 1．函数为多项式形式，即 y 、 a0 、 a1x 、 a2x2 、 a3x3 、 、 （1-5-3） 或经过变换可以写成以上形式的函数。如弹簧振子的周期公式 T 、 2、 m/ K ， 可以写成， T 2 、 4、 2 K m， T 2 是 m的线性函数。再如阻尼振动的振幅衰减公式 A 、 A0e、、t ，可以写成 ln A 、 ln A0 、 、t ， ln A 是 t 的线性函数等。 实际上，由于测量精度的限制，3 次以上逐差已很少应用。 2．自变量 x 是等间距变化，即 xi 、1 、 xi 、 c （常数） 1．5．3 最小二乘法 44 （1-5-4） 根据前面介绍，作图法或逐差法都可以用来确定两个物理量之间的定量函数关 系。然而，两者也都存在着某些缺点和限制。不同的人用相同的实验数据作图，由 于主观随意性，拟合出的直线（或曲线）往往是不一致的，因此通过斜率或截距计 算的结果也是不同的；逐差法也受到函数形式和自变量变化要求的限制。且两种方 法的精度都较低。相比而言，最小二乘法是更严格、精度更高的一种数据处理方法。 最小二乘法是回归分析法的重要环节，是建立在数理统计理论基础之上的一种 方法，被广泛地应用在工程和实验技术等方面。一个完整的回归分析过程应包括回 归方程的假设、方程系数的确定、回归方程合理性分析和检验等三个环节。限于本 课程教学要求，在此只讨论如何用最小二乘法确定方程中的系数，而且只讨论一元 线性函数。 一、最小二乘原理 所谓最小二乘原理就是在满足各测量误差平方和最小的条件下得到的未知量值 为最佳值。用公式表示为 n 、 、xi 、 x、、 、 、 min 2 （1-5-5） i 、1 最小二乘中的“二”指的是平方。 二、用最小二乘法进行线性拟合 设已知函数形式为 y 、 a 、 bx 在等精度测量条件下得到一组测量数据为 x1, x2， 、 ，xn y1, y2， 、 ，yn 由此得到 n 个观测方程： y1 、 a 、 bx1 y2 、 a 、 bx2 45 （1-5-6） …………… yn 、 a 、 bxn 一般情况下，观测方程个数大于未知量的数目时， a 、 b 的解不确定。因此， 如 何 从 这 n 个 观 测 方 程 中 确 定 出 a 、 b 的 最 佳 值 ， 或 者 说 如 何 从 以 xi 、 yi (i 、 1,2,、 , n) 为实验点画出的直线中确定出最佳直线是关键问题。使用最小二乘法可 以解决这个问题。 假定最佳直线方程为 y 、 aˆ 、 bˆx （1-5-7） 式中， â 和 b̂ 为直线方程的最佳系数。 为了简化， 设测量中 x 方向的误差远小于 y 方向的，可以忽略，只研究 y 方向的差异。则有 vi 、 yi 、 (aˆ 、 bˆxi ) i 、 1,2,、 , n （1-5-8） 根据最小二乘原理，系数 â 、 b̂ 的最佳值应满足 、 vi2 、 、 、yi 、 aˆ 、 bˆxi 、 、 min n n i 、1 i 、1 2 （1-5-9） 要使上式成立，显然应有 、 、n 2、 、 、n 2、 、、 vi 、 、、 0 及 、 、、 vi 、 、、 0 、 、aˆ 、i 、1 、 、bˆ 、i 、1 、 将 、 vi2 代入，整理后得以下两个方程 n n 、 ˆ 、naˆ 、 b、 xi 、 、 yi 、 i 、1 i 、1 、 n n n 、aˆ、 x 、 bˆ、 x2 、 、 x y i i i i 、 i 、1 i 、1 、 i 、1 （1-5-10） ˆ 、 、aˆ 、 bx 、 y 、 ˆ 2 、 、aˆx 、 bx 、 xy （1-5-11） 或 46 1n 1n 式 中 ， x 、 、 xi 为 x 的 算 术 平 均 值 ； y 、 、 yi 为 y 的 算 术 平 均 值 ； n i 、1 n i 、1 x2 、 1n 1n n i 、1 n i 、1 、 xi2 为 x2 的算术平均值； xy、 、 xi yi 为 xy的算术平均值。 求解方程组（1-5-11）得 aˆ 、 x 、xy、 y 、x2 bˆ 、 （1-5-12） x2 、 x2 x 、y 、 xy （1-5-13） (x) 2 、 x2 由 â 、 b̂ 所确定的方程即是最佳直线方程。 三、最小二乘法应用举例 例 1-5-4 根据例 1-5-2 数据，试用最小二乘法确定关系式 R 、 a 、 bt。 解： 1．列表（如表 1-5-5） ，算出 、 ti 、 、 Ri 、 、 ti2 、 、 Ri ti 。 表 1-5-5 最小二乘法处理数据表 n t /℃ R/、 t2 /℃2 R 、t / 、 ℃ 1 19.1 76.30 365 1457 2 25.0 77.80 625 1945 3 30.1 79.75 906 2400 4 36.0 80.80 1296 2909 5 40.0 82.35 1600 3294 6 45.1 83.90 2034 3784 7 50.0 85.10 2500 4255 245.3 566 9326 20044 47 7 7 ti 、 245.3 、 i n、 7 Ri 、 566.00 、 i 、1 、1 7 ti 、 9326 、 i 2 、1 2．由表 1-5-5 可得 n 、 ti t 、 i 、1 、 n 245.3 、 35.04(、C ) 7 n 、 Ri R 、 i 、1 、 n 566.00 、 80.857(、 ) 7 n 、 ti2 9326 t2 、 i 、1 、 、 1332 .3(℃2 ) n 7 n 、 Ri ti Rt 、 i 、1 、 n 20044 、 2863 .4(、 ·℃) 7 a 、 b 的最佳值 â 、 b̂ 为 aˆ 、 bˆ 、 t 、Rt 、 R 、t2 t 2 、 t2 t 、R 、 Rt 2 (t ) 、 t 2 、 、 35.04、 2863 .4 、 80.857、1332 、 70.71、、 、 35.042 、 1332 35.04、 80.857、 2863 .4 2 35.04 、 1332 、 0.2895 (、 ·℃、1) 3．待求关系式 R 、 (70.71、 0.2895 t)、 思考题 1．大学物理实验课的基本程序有哪些？ 2．举例说明什么是直接测量？什么间接测量？ 3．误差主要分哪几大类？举例说明。 4．学习有效数字应注意哪些问题？ 5．简述有效数字的修约规则。 48 7 Ri ti 、 20044 、 i 、1 7．服从正态分布的误差有什么特点？ 8．误差与不确定度有什么区别和联系？ 9．简述直接测量和间接测量数据处理的主要步骤。 10．作图时应注意哪些问题？如何从直线上求斜率和截距？ 11．用逐差法处理数据有什么优点？其应用条件有哪些？ 12．与作图法、逐差法相比，最小二乘法处理数据有什么优点？ 习 题 1．指出下列各量有效数字的位数。 （1） U 、 1.000kV （2） L 、 0.000123 mm （3） m、 10.010kg （4）自然数 4 2．判断下列写法是否正确，并加以改正 （1） I 、 0.0350A 、 35mA （2） m、 、53.270、 0.3、kg （3） h 、 27.3、104 、 2000km （4） x 、 、4.325、 0.004、A 3．试按有效数字修约规则，将下列各数据保留三位有效数字。 3.8547，2.3429，1.5451，3.8750，5.4349，7.6850，3.6612，6.2638 4．按有效数字的确定规则，计算下列各式。 （1） 343.37、 75.8 、 0.6386、 ? （2） 88.45、 8.180、 76.543、 ? （3） 0.0725、 2.5 、 ? （4） 、8.42、 0.052、 0.47、、 2.001、 ? 5．分别写出下列各式的不确定度传播公式。 、 、 （1） Q 、 1 K A2 、B2 （K 为常数） 2 （2） N 、 1 （3） f 、 A2 、 B2 4A （4） V 、 A 、B 、 C 、D 2 、 1 F 2 、d 2h 4 6．用千分尺（仪器极限误差为 、0.004mm）测量一钢球直径 6 次，测量数据为： 49 14.256、14.278、14.262、14.263、14.258、14.272（mm）；用天平（仪器极限误差 为 、0.06g）测量它的质量 1 次，测量值为： 11.84g，试求钢球密度的最佳值与不确 定度。 7．示波管磁偏转实验中，偏转距离与电流之间关系数据如下表所示。 I / mA 6.0 10.5 15.5 21.0 26.2 31.6 36.8 42.1 L / mm 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 （1）用直角坐标纸作图，并求出 I 、 L 之间的关系式； （2）用逐差法求出 I 、 L 之间的关系式。 8．已知某两个量 u 与 L 之间具有关系 L 、 ku、 b ，测量数据如下表所示。 u(、103) 8.75 19.43 30.52 41.86 52.71 63.44 L(、10、2 ) 0.72 5.70 10.81 15.69 20.71 25.83 用最小二乘法写出 u 与 L 的关系式。 第二章 2．1 物理实验的基本测量方法与操作技术 基本测量方法 物理测量是泛指以物理理论为依据，以实验仪器、装置及实验技术为手段进行 测量的过程。其内容广泛，涉及物理学领域许多物理量的测量。测量方法也不同。 在此，仅介绍物理实验中遇到的几种基本测量方法，有些方法之间存在必然的联系。 一、比较测量法 比较测量法是物理实验中最普遍、最基本的测量方法，它是将待测量与标准量 进行比较来确定测量值的。测量装置称为比较系统。因比较方式不同又可分为“直 接比较法”和“间接比较法”两种。 1．直接比较法 直接比较法是将待测量与同类物理量的标准量具直接比较、测量的方法，如用 50 米尺测长度、用天平测质量、利用平衡法（如电位差计、电桥等）通过和标准电压 或标准电阻的比较测电压或电阻等。直接比较法特点是标准量与待测量之间的量纲 相同，且简便实用、准确，它几乎存在于一切物理量测量中。但它也有一定的局限 性，即要求标准量必须与待测量有相同的量纲且大小可比，例如，用米尺可以测定 桌椅的尺寸，却不能测量原子的间距。 直接比较法的测量精度取决于标准量具（或测量仪器）的准确度。因此，标准 量具和测量仪器一定要定期校准，还要按照规定条件使用，否则就会产生很大的系 统误差。 2．间接比较法 很多待测量是无法直接比较的，只能通过间接比较的方法进行测量，即设法利 用某些关系将它们转换成能够直接比较的物理量进行间接比较。如电流、电压表等 均采用电磁力矩与游丝力矩平衡时，电流大小与电流表指针的偏转角度之间有一一 对应关系而制成。温度计采用物体体积膨胀与温度的关系制成。虽然它们能直接读 出结果，但根据其测量原理应属间接比较。间接比较法是直接比较法的延续与补充。 应当指出，间接比较法是以物理量之间的函数关系为依据的。为了使测量更加 方便、准确，在可能的情况下，应当尽量将上述物理量之间的关系转换成线性关系， 使读数能以均匀刻度实现。例如，磁电系电表为了使电流与偏转角之间成线性关系， 设计时通过在线圈中加一铁芯，使磁场由横向变为轴向，得到线圈转角 、 （或偏转 格数 n）正比电流 I，即 I、 D 、 BNS 这样，在表盘上刻以均匀刻线，使读数比较方便准确。 有时，只有标准量具还不够，需要借助其它的仪器设备或装置，即组成比较系 统，使待测量与标准量具能够实现比较。例如，只有标准电池不能测量电压，还需 要电位差计及其他附属配件组成比较系统来测量电压。 51 测量中常用的“互换法”、“置换法”是将待测量与标准量换位测量来消除系统 误差，它们都可视为间接比较法，但它们的特点是异时比较。广义地看，所有的物 理量测量都是待测量与标准量进行比较的过程。只不过有时比较形式不明显。 二、放大测量法 当待测量或待测信号数值过于小无法测准时，可以通过某种途径将其放大再进 行测量。这种方法称为放大法。由于待测物理量的不同，放大的原理和方法也不同， 常用的放大法有以下几种： 1．累积（计）放大法 一根很细的金属丝，要直接用毫米尺测出它的直径是很困难的。这时，可以把 它密绕在一个光滑且直径均匀的圆柱体上。用毫米尺测量 n 匝的长度 L ，则 L/n 就 是细丝的直径， n 就是放大倍数。再如，测定单摆振动周期时，测 1 次摆动时， t 、 T ，测量误差为 、T 、 、t ，即周期的测量误差等于秒表的误差；而测 100 次摆动时， t 、 100T ，周期的误差则为 、T 、 、t /100，由于增加了摆动次数，虽然计时仪器误差 、t 并未改变，但是周期的测量误差却大为降低，因而提高了测量准确度。另外，测量 劈尖干涉条纹间距或光栅常数 l 时，可以测量 n 个条纹或光栅常数的长度 L=nl，从 而得到干涉条纹间距或光栅常数。以上几种方法都有先决条件，即细丝的直径必须 均匀；每次摆动的周期必须相同；干涉条纹间距或光栅常数均匀。这种方法即称为 累积（计）放大法。 2．机械放大法 机械放大是利用机械原理及相应的装置将待测量进行放大测量的方法。例如， 螺旋测微计由主尺与鼓轮组成，测长就是将沿螺矩的移动转化为沿周长的移动。若 螺矩为 0.5mm，鼓轮上划分 50 格，则放大倍数为 100 倍。由于放大作用提高了测量 仪器的分辨率，由 1.0mm 提高到 0.01mm，从而提高了测量准确度。游标卡尺也是利 用放大原理，将主尺上的 1.0mm 放大为游标上的 n 格，n 一般为 10、20 和 50，仪器 的分辨率分别提高到 0.1mm、0.5mm、0.02mm。而迈克尔逊干涉仪则是将游标放大和 52 螺旋放大结合起来，位移分辨率可达 0.0001mm，从而实现了精密测量。 3．电学放大法 借助于电路或电子仪器将微弱的电信号放大后进行测量，就是电学放大法。电 学放大中有直流放大和交流放大，有单级放大和多级放大，放大率可以远高于其他 放大方式。为了避免失真，要求电学放大的过程应尽可能是线性放大，还要求抗外 界干扰（温度、湿度、振动、电磁场影响）性能好，工作稳定，不发生漂移。 4．光学放大法 光学中利用透镜和透镜组的放大构成各种光学仪器，既可“望远”、又可“显 微”，这已成为精密测量中必不可少的工具。光学显微镜就是光学放大仪器的典型例 子，它的放大倍数最高可以达到 1000 倍左右。除了直接进行光学放大外，也可以利 用光学原理进行转换放大，在以后的章节中将要介绍的“光杠杆法”就是一例。 三、平衡测量法 “平衡”是物理学上的一个重要概念。利用满足某种平衡条件实现对物理量的 测量就称为平衡测量法。例如，天平利用力学平衡原理实现了物体质量的测量。单 臂电桥利用电流、电压等电学量之间的电学平衡，可以测量电阻。同样，稳态法也 是平衡法在物理测量中的具体应用，是物理实验经常采用的测量方法。当物理系统 处于静态或处于动态平衡时，系统内的各项参数不随时间变化。利用这一状态进行 测量就是稳态测量。例如，“在不良导体的导热系数测定”时，只有在稳定条件下， 才满足导热速率等于散热速率这一关系，这是稳态法测导热系数的基本条件。 四、补偿测量法 若某测量系统受某种作用产生 A 效应，同时受另一种同类作用产生 B 效应，如 果 B 效应的存在使 A 效应显示不出来，就叫 B 对 A 进行了补偿。利用这一原理进行 物理测量就称为补偿测量法。补偿方法大多用在补偿测量和补偿校正系统误差两个 方面，往往与比较法结合使用。 完整的补偿测量系统由待测量装置、补偿装置、测量装置和指零装置组成。待 53 测装置产生待测效应，要求待测量尽量稳定，便于补偿。补偿装置产生补偿效应， 要求补偿量值准确达到设计精度。测量装置将待测量与补偿量联系起来进行比较。 指零装置是一个比较仪器，由它来显示待测量与补偿量是否达到完全补偿。例如， 电位差计利用电压补偿法可以精确测定未知电势差或电压。 另外，在某些测量中，由于存在某些不合理因素而产生系统误差，且无法排除。 于是人们想办法制造另一种因素去补偿不合理因素的影响，使得这种影响减弱、消 失或对测量结果无影响，这个过程就是用补偿法校正系统误差。例如，箱式电位差 计中温度补偿，迈克尔逊干涉仪中的光路补偿，等等。 五、模拟测量法 模拟测量法是以相似理论为基础，把不能或不易测量的物理量用与之类似的模 拟量进行替代测量。一般可以分为以下几种： 1．物理模拟法 物理模拟是在相同物理本质的前提下，对物理现象或过程的模拟。如航空、航 天飞行器研究中的风洞实验，可以模拟出一个与实际情况相同的大气环境；水洞可 以从事水动力学方面的模拟实验，等等。这种方法的特点是在较短的时间内，以较 小的代价，方便可靠地取得有关数据。 2．数学模拟法 数学模拟法又称为类比法，这种模拟的模型与原型在物理形式上和实质上可能 毫无共同之处，但它们却遵循着相同的数学规律。例如，机电（力电）类比中，力 学的共振与电学的共振虽然不同，但它们却有相同的二阶常微分方程，声电类比也 是如此。在物理实验中，静电场既不易获得，又易发生畸变，很难直接测量，可以 用稳恒电流场来模拟静电场。 随着计算机技术的不断发展和应用，用计算机进行的模拟实验越来越多，并且 能够有效地将两种模拟方法相结合，取得更好的结果。 六、转换测量法 54 转换测量法是根据物理量之间的各种效应和定量函数关系，利用变换原理将不 能或不易测量的物理量转换成能测或易测的物理量。由于物理量之间的关系是多种 多样的，物理效应丰富多彩，因此有各种不同的转换法。随着科学技术的不断发展， 这种方法已经渗透到各学科领域。科学实验能够不断地向高精度、宽领域、快速测 量、遥感测量和自动化测量发展，这一切与转换测量密切相关。 转换测量法实际上是间接测量法的具体应用，一般分成参量转换和能量转换两 大类。 1．参量转换法 参量转换法是利用各物理量之间的函数关系进行的间接测量。例如，伏安法测 电阻，单摆测量重力加速度，以及前面讲到的间接比较法大都属于此类。 2．能量换测法 与参量转换不同，能量换测是将一种形式转换为另一种形式的物理量之间的对 应关系所进行的测量。这种方式在物理实验中大量存在，其中应用最多的是非电量 的电测技术，实现转换的主要部件是传感器（有时称换能器）。例如，在“超声声速 的测量”实验中，利用压电换能器将电信号转换为压力变化产生超声波发射，又利 用其逆变化将接收的声波信号转换回电信号在示波器上显示，由此测定声音在空气 中的传播速度，这种变化称为压电转换；在“固体材料线膨胀系数的测量”实验中， 利用霍耳元件的霍耳效应，可以将磁感应强度转换为电流、电压或其他电学量，这 种转换称为磁电转换；“测量不良导体导热系数”实验中的热电偶和“热敏电阻数 字温度计的设计与制作”实验中的热敏电阻，都可以将温度变化转化为电学量，从 而实验对温度的测量，这种变化称为热电转换；“光电效应测量普朗克常数”实验 中的光电管及“气垫导轨实验”中的光电二极管等，可以将光信号转换为电信号， 实现光电转换。非电量的电测技术及各种类型的传感器已经发展成多个专门学科， 在科研、生产各个领域获得了广泛的应用。 本章介绍了几种基本实验方法。但是每一种方法都不是孤立的，有些实验中可 55 能是多种方法的结合，大家一定要在大学物理实验学习阶段善于总结，注意它们之 间的互相联系，学会灵活运用和综合使用，以便在今后的工作中有所发明、创造。 2．2 基本调整技术 使用仪器、仪表和装置测量之前，应首先对这些设备的工作状态进行调整，以 达到最佳状态。这样才能将设备装置产生的系统误差减小到最低限度，保证测量结 果的准确性和有效性。 一、零位调整 在测量之前应首先检查各仪器的零位是否正确。虽然仪器出厂时已经校准，但 由于搬运、使用磨损或环境的变化等原因，其零位往往会发生变化。如果实验前未 检查、校准，测量结果中将人为地引入系统误差。 零位校准时，如果测量仪器本身有零位校准器（如电表等），可直接进行调整， 使仪器在测量前处于零位。如仪器零位不准，且无法调整、校准（如磨损了的米尺、 游标卡尺、螺旋测微计等），则需在测量前记录初读数，以备在测量结果中加以修正。 二、水平、铅直调整 物理实验所用的仪器或装置中，有些需进行水平或铅直调整，如平台的水平、 支柱的铅直等。大部分需调整的仪器或装置自身装有水准仪或悬锤，底座有两个或 三个（排成等边或等腰三角形）可调节的螺丝，只需调节螺丝，使水准仪的气泡居 中或铅锤的锤尖对准底座上的座尖，即可达到调整要求。对有些没有水准仪或铅锤 的仪器，需要调节水平或铅直时，可用自身装置进行调整，如焦利称可以通过调整 底座螺丝使悬镜处在玻璃的中间等。 对于既没有配置水平仪又不能用自身装置来调整水平的仪器，可选用相应的水 准仪来调整，如用长方形水准仪来调整一般的平面，可在互相垂直的两个方向上调 整；用圆形水准仪，可较方便的调整较小的圆形平面，例如三线摆的上下圆盘、分 光计的载物平台等。 三、消除视差的调整 56 使用仪器测量读取数据时，会遇到读数准线（如电表的指针、光学仪器中的叉 丝等）与标尺平面不重合的情况，这时观察者的眼睛在不同方位读数时，得到的示 值就会有一定的差异，这就是视差。 有无视差可根据观察者在调整仪器或读取示值，眼睛上下或左右稍稍移动时， 观察标线与标尺刻线间是否有相对移动来判断。要避免视差的出现，一般仪器仪表 在读数时应做到正面垂直观测。如精密的电表在刻度盘下有平面反射镜，读数时只 有垂直正视，指针和其平面镜中的像重合时，读出的标尺上的示值才是无视差的正 确数值。 在光学实验中，消视差是测量前必不可少的操作步骤。对于测量用光学仪器， 如测微目镜、望远镜、读数显微镜等，这些仪器在其目镜焦平面内侧装有作为读数 准线的十字叉丝（或是刻有读数准线的玻璃分划板）。当用这些仪器观测待测物体时， 有时会发现随着眼睛的移动，物体的像和叉丝或分划板间有相对位移，这说明二者 之间有视差存在。调节目镜（包括叉丝）与物镜的距离，边调节边稍稍移动眼睛观 察，直到叉丝与物体所成的像之间基本无相对移动，则说明被测物体经物镜成像到 叉丝所作的平面上，视差消除。 四、等高共轴调整 在由两个或两个以上的光学元件组成的实验系统中，为获得高质量的像，满足 近轴成像条件，必须使各光学元件的主光轴重合，这就需要在观测前进行共轴调整。 调整可分两步进行。首先可进行目测粗调，把光学元件和光源的中心都调到同 一高度，同时要求调节各光学元件相互平行。这时各光学元件的光轴已接近重合。 然后，依据光学成像的基本规律来细调。调整可根据自准直法、二次成像法（共扼 法）等，利用光学系统本身或借助其他光学仪器来进行。 为了读数准确，还需把光轴调整得与光具座平行，即各光学元件与光具座等高 且光学元件中心截面与光具座垂直。 五、平衡调节――逐次逼近法 57 仪器的调整都需经过仔细的反复调节，才能达到预期目的。依据一定的判据， 由粗及细逐次缩小调整范围，快捷而有效地获得所需状态的方法，称为逐次逼近调 节法。物理实验中常采用“逐次逼近法”进行调整，特别是运用零示法的实验或零 示仪器，如天平测质量、电位差计测电压或电动势、电桥测电阻等实验。在光路共 轴调节、分光计调节中也要用到。 2．3 基本操作技术 一、先定性、后定量原则 实验前，通过预习实验内容、使用的仪器设备都已经有所了解，在进行实验时， 不要急于获取实验结果，而是采取“先定性、后定量”的原则进行实验。具体作法 是：仪器调整好，在进行定量测定前，先定性地观察实验变化的全过程，了解物理 量的变化规律。对于有函数关系的两个或多个物理量，要注意观察一个量随其他量 改变而变化的情况，得到函数曲线的大致图形，在定量测试时，可根据曲线变化趋 势分配测量间隔，曲线变化平缓处，测量间隔大些，变化急剧处，测量间隔就应小 些。这样采用由不同测量间隔测得的数据作图就比较合理。 二、电学实验的基本操作 电学实验需要电源、电气仪表、电子仪器等，许多仪表都很精密，实验中既要 完成测试任务，又要注意人身安全和仪器的安全，为此应注意以下几个方面。 1．安全用电 实验中常用电源有 220V 交流电和 0～30V 直流电，有的实验电压高达上万伏， 一般人体接触 36V 以上的电压，就会有触电的危险。因此实验中一定要注意用电安 全，不要随意移动电源，接、拆线路时应先关闭电源，测试中不要触摸仪器的高压 带电部位，能单手操作的，不要双手操作。 2．合理布局 实验前对实验线路进行分析，按实验要求安排布置仪器，布局应遵循“便于连 线与操作，易于观察，保证安全”的原则。需经常操作和读数的仪器放在面前，开 58 关应放在便于使用的位置。 3．正确接线 图 2-3-1 正确接线方法示意图 接线前应先将开关断开，弄清电源及直流电表的“+”、 “－”极性，然后从电源 的正极开始，从高电位到低电位依次连接。如果电路比较复杂，可分成几个回路， 应按电路图的逐个回路接线，一个分回路接完后再接另一个分回路。例如对于图 2-3-1 所示的电路，可以分为 6 个回路（①～⑥） ，连线时应从①回路开始，依次连 接到⑥回路。连线时，要合理分配每个接线端上的导线，注意利用等势点，以使每 个接线端的线尽量少，还要注意接头要旋紧。电路接线完成通电之前，必须进行复 查，确认电路无误，经指导教师检查同意后，才可接通电源进行实验。 4．通电试验 通电试验前，各器件同时要调节到安全位置。如不知电压或电流大小时，电表 应取最大量程，分压器应调到输出电压最小的位置，限流器的阻值要调到最大等。 接通电路的顺序为：先接通电源，再接通测试仪器（如示波器等） ；断电时顺序 相反。其目的是以防电源通或断时因含有感性元件产生瞬间高压损坏仪器。接通电 源时，应关注所有仪器和元件，发现异常应立即切断电源，进行排查。实验过程中 要暂停实验或改接电路时，必须断开电源。 5．断电与拆线 实验完成后，经教师检查数据，合格后，先切断电源，再拆除线路，拆线要按 与接线相反的顺序进行。同时要整理好仪器，并注意将仪器回复到原来状态。有零 点保护的仪器（如灵敏检流计）要置于保护状态（开关扳至短路挡）。 59 三、光学实验操作技术 1．光学仪器的使用 （1）光学仪器是精密仪器，其机械部分大都经过精密加工，易损坏，有些仪器 结构复杂，使用之前需进行仔细调整，操作时动作要轻缓，用力均匀平稳，以达到 最佳使用状态。仪器应在通风、干燥和洁净的环境中使用和保存，以防受潮后发霉、 受腐蚀。对长期搁置不用或备用的仪器，要按仪器说明妥善保管，并定期进行保养。 （2）光学元件大部分都是特种玻璃经过精密加工制成，光学面经过精细抛光， 表面光洁（如三棱镜），有些元件表面有均匀镀膜（如平面反射镜），在使用时要防 止磕、碰、打碎，取放时手不要接触光学面，避免擦、划、污损表面。若光学元件 表面不洁，需根据元件表面的具体情况，或用镜头纸，或用无水乙醇、乙醚等来处 理，切忌哈气、手擦等违规操作。光学仪器、元件平时要注意防尘。 （3）对于光学实验所用的各种光源，实验前应了解其性能、正确使用，光源的 高压电源要注意防护。高亮度的光源不要直视，特别是激光，绝对不要用眼睛正视， 以防灼伤眼睛。 （4）在暗房工作，各种器皿、药品要按固定位置摆放，不能随意放置，以防用 错药品，造成操作失误。 以上几条只是一般光学仪器和元件使用时应注意的问题。随着科学技术的发展， 实验仪器、设备不断更新，对于特殊的光学仪器和元件，操作技术会有特殊要求， 使用与保管时应具体问题具体对待。 2．成像位置的判断 光学实验中，有时要根据成像位置完成物理量的测量，这时对成像位置的准确 判断是很重要的，例如透镜焦距的测量实验中，需要测量物距、像距，才能计算出 焦距。根据透镜成像规律，像与物之间是共轭的，只有在共轭像平面上才能得到理 想的像。要准确地确定共轭像面位置，必须有意识地找出焦深范围，即前后移动光 屏，找到像开始变模糊的前后两个位置，两个位置之间的距离即为焦深。焦深的中 60 点就是共轭像面的位置。 思考题 1．放大测量方法主要有哪几种？分别举出几例。 2．举例说明平衡测量法的测量原理。 3．简述补偿测量法的主要思路。 4．物理模拟与数学模拟有什么不同？ 5．你见过的能量换测法中的传感器有哪些？举出几例。 6．如果不对仪器进行零位调整会产生什么误差？ 7．使用光学仪器，如测量显微镜、望远镜等，应如何消视差？ 8．光学实验的等高共轴调节主要分哪两步？ 9．简述电学实验中正确接线的基本方法。 61 实验一 密度的测量 实验目的 1.学习物理天平的使用方法； 2.学习用流体静力称衡法测量固体的密度； 3.学习用比重瓶法测液体的密度。 实验器材 物理天平，烧杯，比重瓶，温度计，细线，被测物（金属块、蜡块、酒精） 实验原理 密度是物质的基本属性之一，在工业上常把物质密度的测定作为成分分析和纯 度鉴定的重要手段。按照密度的定义： 、、 m V （1—1） 测出物体质量 m和体积 V 后，可间接测得物体的密度 、 。利用天平很容易测 出物体的质量。对于规则固体，可通过测出它的外形尺寸，间接测得其体积。但对 于不规则固体，若仍采用测外形尺寸求体积的方法，计算比较麻烦，而采用转换方 法测定它的体积却是比较容易的。本实验是在水的密度已知的条件下，用两种不同 的方法确定待测物体的密度。 1.用流体静力称衡法测不规则固体的密度 这一方法的基本原理是阿基米德定律：物体在液体中所受的浮力等于它所排开 液体的重量。本实验所用的液体是水。 物体在空气中的重量为 W 、 mg， 浸没在水中的视重为 W1 、 m1g ， 则物体所受的浮力为 F 、 (m、 m1)g 。 设水的密度为 、0 ，由阿基米德定律得： 、0Vg 、 、m、 m1 、g ， 62 则待测固体的体积为 V 、 m、 m1 ， 、0 m、 m1 也等于物体在空气中及全部浸入液体中称衡时相应的天平砝码的质量。 则固体的密度为 、、 m 、0 m、 m1 （1—2） 如果待测物体的密度小于水的密度，其测量方法是： / 先用天平测出待测物体在空气中的质量 m ,再在物体上固定一密度较大的重物， 使两物体全部浸没在水中进行称衡，平衡时相应的砝码质量为 m2 ,最后将待测物体 提升到液面之上，重物仍浸没在液体中进行称衡，平衡时相应的砝码质量为 m3 。 物体在液体中所受的浮力 F 、 (m3 、 m2 )g ， 计算可得物体的密度为 、、 m/ m3 、 m2 、0 （1—3） 如果和待测物体固定在一起的重体就是前面已用过的物体，则 m3 、 m/ 、 m1 m3 的测量就可以省去。物体的密度为 、、 m/ 、0 m/ 、 m1 、 m2 （1—4） 2. 用流体静力称衡法测液体密度 63 测液体密度，仍需借助重物和水。先将一个重物分别放在空气中和浸没在密度 为 、0 的水中称衡，平衡时相应的砝码质量为 m、 m1 ,再将该重物浸没在待测液体 （本实验中所用的液体为酒精）中称衡，平衡时相应的砝码质量为 m4 。则 、、 m、 m4 、0 m、 m1 （1—5) 实验内容 1.用流体静力称衡法测金属块（也可以是任意形状的不规则固体如石块）的密 度 （1）检查、调整物理天平，包括水平调节和平衡调节。 （2）测出金属块在空气中的质量 m。 （3）将盛有水的烧杯放在天平的托架上，使金属块全部浸入水中（不得与烧杯 壁或底接触），称出其质量 m1 。 （4）记录实验时的水温，由附录查出该温度下的水的密度 、0 。 （5）称衡完毕，检查天平是否保持空载平衡。如平衡已被破坏，则实验必须重 新进行。 （6）利用（1—2）式计算金属块的密度。 2. 用流体静力称衡法测量蜡块的密度 / （1） 测出蜡块在空气中的质量 m 。 （2） 用细线将蜡块和金属块固定在一起。 （3） 把盛有水的烧杯放在天平的托架上，将细线的线头挂在吊耳下面的挂 钩上，使蜡块和金属块全部浸入水中（不得与烧杯壁或底部接触）， 测出平衡时的砝码质量 m2 。 64 （4） 利用（1—4）式计算金属块的密度。式中的 m及 m1 已在实验内容 1 中 测出。 3、用流体静力称衡法测液体密度 （1）将烧杯中的水换成酒精，仿照实验内容 1 的第（3）步，测出平衡时的砝 码质量 m4 。 （2）利用（1—5）式计算液体（酒精）的密度。式中的 m1 已在实验内容 1 中 测出。 思考题 1、在使用天平测量前应进行那些调节？如何消除天平不等臂误差？ 2、测定不规则固体密度时，若被测物体浸入水中时表面吸有气泡，则实验所得 密度是偏大还是偏小？为什么？ 3、如何用比重瓶法测颗粒状物体的密度？ 附录 1：天平的调整和使用 物理天平横梁的左、中、右各镶有一个刀口。中刀口向下放在玛瑙刀承上，左、 右刀口向上，通过吊耳内的玛瑙刀承下挂吊环及吊盘。 手轮通过升降杆控制横梁的起落．在立柱的后面装有水准气泡．天平配有砝码 一盒，以称量为 1000g 的为例，砝码有 200g、100g、20g、2g 的各两个，500g、 50g、5g、1g 的各 1 个． 65 天平的主要技术参数有称量、感量等． 称量是指天平所能称量的最大质量值（满载值），常以克（g）为单位表示．感 量是使天平指针从平衡位置偏转到刻度盘一分度所需的最大质量，所以感量也叫做 “分度值” ，常以“毫克” （mg）为单位，感量反映了天平的灵敏程度．天平的技术 参数还有变动性、级别、游码标尺误差，砝码精度等． 1． 安装和调整： 部件需擦净后再安装。吊盘背面标有“1”， “2”标记，应按“左 1 右 2”安装。 安装完毕，应转动手轮使横梁数次起落，调整横梁落下时的支承螺丝，使横梁起落 时不扭动，落下时中刀口离开中刀承，吊盘刚好落在底座上。 调节天平底座水平：调节调平螺丝，使底座上气泡在圆圈刻线中间位置，表示 天平已调到水平位置。 调节横梁平衡：用镊子把游码拨到左边零刻度处，转动手轮慢慢升起横梁，以 刻度盘中央刻线为准，使指针两边摆动等幅，如不等幅，则应降下横梁调整横梁两 端的平衡螺丝，再升起横梁……如此反复，直至横梁平衡。还有一点应明确：对于 66 天平的整个横梁系统（包括两吊盘在内） ，重心位于刀口的正下方．天平的灵敏程度 和重心到刀口的距离有关，调节感量砣的位置可改变整个横梁系统的重心位置，重 心位置越高，距刀口距离越近天平灵敏度越高，感量越小．对于一架天平，出厂时 它的感量砣位置是调好的，天平的感量也就确定了，一般在使用天平时不要动它的 感量砣． 2． 使用： 称量物体时应将待称物体放在左盘，用镊子将砝码夹放到右盘中，然后转动手 轮，升起横梁，看指针偏转情况，再降下横梁加减砝码，再升起横梁看指针偏转情 况……直到天平平衡时为止，这时砝码和游码所示总质量即为被称物体质量。 载物台用法：有些实验要求不能把物体直接放入吊盘中称量，可借助于载物 台．例如：测浸在液体中的物体所受的浮力时就要这样做。 为使测量更精密，消除天平不等臂等因素引起的误差，可以采用复称法：左盘 放物体，右盘加砝码，称量值为 m1 ；然后将物体放右盘，左盘放砝码称量值为 m2 ，则物体的质量为 m、 m1m2 。此结果与臂长无关。 注意：当左盘放物体，右盘加砝码时，物体质量等于砝码质量加上游码读数； 当右盘放物体，左盘放砝码时，物体质量等于砝码质量减去游码读数。 使用天平的注意事项： 注意保护天平的刀口。物理天平是比较精密的仪器，使用时要特别注意保护它 的三个刀口。一般来说，应在天平接近平衡时才能把横梁升起，所以在称量物体前 应先用手掂掂物体，估计一下它质量的大小，防止超过天平的称量，并在右盘放入 质量相当的砝码再升起横梁。调天平横梁平衡时平衡螺丝的调节、称量时加减砝码 等都要在天平制动的情况下进行。转动手轮，升起横梁动作要轻，稍稍升起横梁一 看不平衡马上轻轻放下横梁，不必把横梁完全升到顶再观察是否平衡。被测物和砝 码放在盘的中间。 67 使用天平时不能用手摸天平，不能把潮湿的东西或化学药品直接放在天平盘里。 砝码只能用镊子夹取，不能用手拿，用后应及时放回砝码盒。 天平使用完毕要使刀口和刀承分离，各天平间的零件不能互换，用后应将天平 存放在干燥清洁的地方． 在使用天平时易出现的不当操作还有：已调好的天平使用时又挪动了位置；调 平衡时游码没放在零刻线处；称量时不知游码要在天平放入最小砝码还不平衡时才 能使用；加码顺序不是先大后小，放上接近物体质量的大砝码，天平不平衡再加入 （或换上）小砝码；称完物体，先收砝码，后记录数据；有的甚至吊盘没挂在两边 刀口上就开始称量或没调节天平就开始称量等等，希望引起大家的注意。 附录 2. 不确定度的计算 我们以（1—2）式为例介绍不确定度计算公式的推导方法： 已知不确定度的计算公式为 2 2 2 、 、f 、 、 、f 、 、 、f 、 、 、 、 、 、 uc 、y、、 、 u ( x ) 、 u ( x ) 、 、 、 u ( x ) c 1 c 2 c k 、、x 、 、、x 、 、、x 、 、 1 、 、 2 、 、 k 、 （2—2）式为 、 、 m 、0 . m、 m1 式中， 、0 可看做常量，则 、 是 m和m1 的函数。故有 m1 、、 、m、 m1 、、 m 、 、 、 、 、, 0 、m 、m、 m1 、2 、m、 m1 、2 、、 、m 、 、0 、m1 、m、 m1 、2 所以， 68 2 2 、 、、、 、 、 、、 、 、 、 uc 、、 、、 、 uc 、m、、 、 、 u m c 1 、 、 、、m 、 、、m1 、 1 2 2 、、 m 、 、 、 、2 m 1 、 、 、、 、0uc 、m、、 、、 、0uc 、m1 、、 2 2 、 、 、 、、 、m、 m1 、 、 、、m、 m1 、 、、 、、 、 、 、0 、m、 m1 、2 、m1uc 、m、、2 、 、muc 、m1 、、2 如果是单次测量，可不考虑 uA (m) 和 uA (m1) ，则 uc (m) 、 uB (m) 、 、 / 3 ， uc (m1) 、 uB (m1) 、 、 / 3 。 在要求不太高的情况下，我们可取天平的分度值为 、 。最后得： uc 、、 、、 、0 m12 、 m22 2 3 、m、 m1 、 、 其余两种情况由同学自己推导。 附录 3.不同温度时水的密度 t/℃ 17 、0 / g 、cm、3 0.9988 18 19 0.9986 20 0.9984 0.9978 69 21 0.9982 22 0.9980 实验二 牛顿第二定律的验证（气垫导轨法） 实验目的 1、熟悉气垫导轨的构造，掌握其正确的调整和使用方法。 2、熟悉用光电计时系统测量短暂时间的方法。 3、学会测运动物体的速度和加速度。 4、验证牛顿第二定律。 实验仪器 气垫导轨、气源、MUJ—ⅡB（6B）电脑通用计数器，滑块、光电门 实验原理 牛顿第二定律是质点动力学的基本方程，给出了力 F、质量 m 和加速度 a 三个 物理量之间的定量关系，数学表述为 F 、 ma。本实验从两个方面出发来验证牛顿 第二定律。 （1）系统总质量不变，研究合外力和加速度的关系；（2）合外力不变， 考察总质量和加速度的关系。通过验证牛顿第二定律这一实验，重点学习验证物理 规律的基本实验方法，即怎样做验证物理规律的实验和如何判断实验是否能够验证 理论。 1．速度的测量 一个作直线运动的物体，如果在 t~t+Δt 时间内通过的位移为 Δx（x~x+Δx）， 则该物体在 Δt 时间内的平均速度为 v 、 、x ，Δt 越小，平均速度就越接近于 t 时 、t 刻的实际速度。当 Δt→0 时，平均速度的极限值就是 t 时刻（或 x 位置）的瞬时速 度 、x dx 、 、t、 0 、t dt v 、 lim （2-1） 实际测量中，计时装置不可能记下 Δt→0 的时间来，因而直接用式（1）测量 某点的速度就难以实现。但在一定误差范围内，只要取很小的位移 Δx，测量对应 时间间隔 Δt，就可以用平均速度 v 近似代替 t 时刻到达 x 点的瞬时速度 v 。本实验 中取 Δx 为定值（约 10mm），用光电计时系统测出通过 Δx 所需的极短时间 Δt，较 70 好地解决了瞬时速度的测量问题。 2．加速度的测量 在气垫导轨上相距一定距离 S 的两个位置处各放置一个光电门，分别测出滑块 经过这两个位置时的速度 v1 和 v2 。对于匀加速直线运动问题，通过加速度、速度、 位移及运动时间之间的关系，就可以实现加速度 a 的测量。由公式 v22 、 v12 、 2aS 可 知 ，加速度 a 为 a、 v22 、 v12 2S （2-2） 根据式（3）也可以计算出作匀加速直线运动滑块的加速度。 3．验证牛顿第二定律 牛顿第二定律所描述的内容，就是一个物体的加速度与其所受合外力成正比， 与其本身质量成反比，且加速度的方向与合外力方向相同。数学表述为 F 、 ma （2-3） 为了研究 牛顿第二定律， 考虑如图 1 所示 一个运动物体 系统， 系统由 m1 图 2-1 验证牛顿第二定律 （滑块） 和 m2 （砝码） 两个物体组成， 忽略空气阻力及气垫对滑块的粘滞力， 不计滑轮和细线的质量等。 调节气垫导轨水平后，将一定质量的砝码盘通过一细线经气垫导轨的滑轮与滑 块相连。设滑块部分的质量为 m1 ，滑块本身所受重力为 m1g ，气垫对滑块的漂浮力 为 N，此二力相平衡，滑块在垂直方向受到的合外力为零。滑块在水平方向上受到 细线的拉力，此力为重物作用于细线所产生的张力 T ，由于气垫导轨和滑块及细线 71 所受的粘滞阻力及空气阻力忽略不计，则有 、m2 g 、 T 、 m2a 、 、T 、 m1a （2-4） 式中 a 为运动系统的加速度，根据式（6）有 m2g 、 (m1 、 m2)a （2-5） 在式（2-5）中，若令 m、 m1 、 m2 表示运动物体系统的总质量， F 、 m2 g 表 示物体系统在运动方向所受的合外力，则式（5 ）即为式（3 ） F 、 ma。根据式 （2-5） ，验证牛顿第二定律可分为以下两步来完成。 （1）当系统总质量 m保持不变时，加速度 a 应与合外力 F 成正比，比值为常 数，即 a 1 、 m2g (m1 、 m2) （2-6） 实验时，在保持总质量 m不变的情况下，改变合外力 F 、 m2 g ，即逐次改变砝 码盘中砝码的质量，测出系统相应的加速度 ai 。如果在实验误差允许的范围内式 （7） 成立， a a1 a 1 、 2 、、 、 、 i 、 m21g m22g m2i g (m1 、 m2) （2-7） 则验证了 m不变的情况下， a 与 F 成正比。 还可以利用上述 a 和 F 数据作 a～F 关系图，若为直线，则可验证式（7） ，即 a 与 F 成正比。 （2）当保持系统所受合外力 F 、 m2 g 不变时，加速度 a 的大小应与系统的总 质量 m、 m1 、 m2 成反比，即 a 、 m2g 1 (m1 、 m2) （2-8） 同样，实验时保持合外力 F 、 m2 g 不变，改变系统总质量 m、 m1 、 m2 ，即逐 次向滑块增加不同重量的质量块，测出系统相应的加速度。如果在实验误差允许的 72 范围内式（9）成立， a1(m11 、 m2) 、 a2(m12 、 m2) 、 、 、 、 ai (m1i 、 m2) 、 m2g （2-9） 则验证了 F 不变的情况下， a 与 m成反比。还可以利用上述 a 与 m数据作 a～ 1 m 关系图，若为直线，则可验证式（2-8） ，即 a 与 m成反比。 如果式（2-6）和式（2-8）均被验证，则式（2-5）即式（2-3）得到验证，也 就是说，验证了牛顿第二定律。 4. 实 验 器 材 及 操 作 方法 1．气垫导轨 气垫导轨是一种接 近于无摩擦阻力的力学 实验装置，由导轨、滑 块和光电计时测量系统 1－进气口；2－标尺；3－滑块；4－挡光片；5－光电门；6－导 轨；7－滑轮 8－支承梁；9－垫脚（单底脚螺丝） ；10－支脚 （双底脚螺丝） ；11－发射架；12－端盖 组成，外形结构如图 图 2-2 2-2 所示。 气垫导轨的结构 （1）导轨 导轨是一根固定在钢架上的三角形铝合金空腔管，在空腔管的侧面钻有数排等 距离的小孔，导轨剖面如图 2-3 所示。空腔管 的一端封闭，另一端通过塑料管与供气系统相 连。当压缩空气送入空腔管后，再从小孔高速 喷出。在导轨上方可安放作为测量对象的滑块， 在导轨上还有用于测量位置的标尺，在导轨下 图 2-3 装有调节水平用的底脚螺丝。 （2）滑块 73 导轨的剖面图 滑块由直角形铝板制成，其内表面可以与导轨的两个侧面精密吻合。当压缩空 气从导轨上的小孔中高速喷出时，在滑块和导轨之间形成很薄的空气层即气垫，使 滑块悬浮在导轨面上。滑块与导轨面不发生直接接触，因此滑块在导轨上的运动， 可近似地认为是一种无摩擦的运动。当然，实际上还存在滑块与导轨面间的空气粘 滞力和滑块周围的空气阻力，但这些阻力很小，一般可以忽略不计。气垫导轨之所 以能成为定量研究许多力学现象的一种良好实验装置，利用的就是这一特性。滑块 中部的上方水平安装着遮光片（也称为挡光片） ，与光电门和计数器相配合，测量滑 块经过光电门的时间或速度。滑块上还可以安装配重块（即金属片，用以改变滑块 的质量）、弹性碰撞器（弹簧）、非弹性碰撞器（尼龙搭扣）等配件，用于完成不同 的实验。 （3）光电计时系统 光电计时测量系统由光电门和 电脑通用计数器组成，光电门结构 和测量原理如图 2-4 所示。当滑块 图 2-4 光电门的结构与测量原理 从光电门旁经过时，安装在滑块上 的遮光片穿过光电门，从发射器（如发光二极管）射出的红外光被遮光片遮住而无法 照到接收器上，此时接收器（如光电二极管）产生一个脉冲信号。在滑块经过光电 门旁的整个过程中，遮光片两次挡光，则接收器共产生两个脉冲信号，计数器将测 出这两个脉冲信号之间的时间间隔 、t 。设二次遮光片间的遮光距离为 、l ，则平均速 度为 v 、 、l ，当速度变化不大，或 、l 较小时，这个平均速度就可认为是滑块通过光 、t 电门中间的瞬时速度。（有关光电计时系统的较详细说明可参阅本实验的附录一。） MUJ 系列电脑通用计数器用单片机作为中央处理器，并且编入了相应的数据处 理程序，具备多组实验数据的记忆存储功能。从 1、2 两个光电门（光电门接在通用 计数器背面的插座上）采集数据信号，经中央处理器处理后，在 LED 数码显示屏上 显示出测量结果。MUJ 系列电脑通用计数器的主要按键及其基本功能如下。 74 ① 功能键 多次按下功能键，选择要使用的功能。本实验主要使用“计时 2（S2）”功能， 即测量滑块经过 P1 和 P2 两光电门时滑块上挡光片遮光的时间间隔 、t 或滑块的速度 v （视设定的单位而定）。 按下取数键，再按下功能键，仪器将清除之前所记录的测量结果。 ② 转换键 按下转换键大于 1 秒，选择所用挡光片的宽度（1cm、3cm、5cm 或 10cm），在显 示的宽度值与所用挡光片的宽度相同时，放开此键即可。每次开机时挡光片的宽度 自动设定为 1cm。（测量速度前，请确认所用挡光片的宽度与设定挡光片的宽度二者 相等。） 在选择好“计时 2”功能后，按下转换键小于 1 秒，设定显示的测量结果是时 间还是速度（相应的时间单位 s 或速度单位 cm/s 前的指示灯点亮）。 ③ 取数键 自上一次清零后开始记录算起，前 20 组测量结果会自动保留存储下来。按下取 数键，可依次显示存储的测量结果。当显示“E×”时，提示将显示存入的第×组测 量结果；每个测量结果显示约 10s，然后再显示下一组测量结果。 2．气垫导轨的水平调节 导轨水平状态的调整是正确使用气垫导轨的重要内容，许多测量都需要先将导 轨调整到水平状态。由于导轨较长，用一般的水平仪测量有困难，实验中常采用观 察滑块的运动情况来判断导轨是否水平。调整气垫导轨水平有一定的难度，需要耐 心地反复调整，常用的调整方法有下列两种。 （1）静态粗调 导轨通气后，滑块放置在导轨上的实验段内，调整用于水平调节的底脚螺丝（图 2-3 中的“9”） ，直到滑块保持不动，或稍有滑动，但不总是向一个方向滑动，则可 认为导轨基本调平。 75 （2）动态细调 先使滑块以中等速度平稳地从左端向右端运动，分别记录先后通过两个光电门 的时间间隔 、t1 和 、t2 ，仔细调节底脚螺丝，使 、t2 和 、t1 十分接近。当导轨完全水平 时，由于滑块与导轨间的粘滞阻力和滑块周围的空气阻力，使 、t2 比 、t1 稍长一些， 一般应在第三位读数以下才有差别。再使滑块以同样速度从右端向左端运动，分别 记录先后通过两个光电门的时间间隔 、t1 和 、t2 ， 、t2 和 、t1 也应十分接近。这时可认 为导轨调平。 实验步骤 1．调节气垫导轨水平及光电计时系统正常工作 调整气垫导轨水平，达到细调水平要求。调整光电计时系统处于正常工作状态。 2．验证物体系统总质量不变时加速度与合外力成正比 保证物体系统总质量不变，逐步增加砝码盘中砝码的质量，改变外力 5 次。每 一外力下分别记录滑块经过两个光电门的速度 v1 和 v2 ，重复测量 6 次。 3．验证物体系统所受合外力不变时加速度与总质量成反比 保持砝码盘部分的质量不变，即合外力不变，在滑块上逐步增加质量块，改变 物体系统总质量 5 次。每一总质量下分别记录滑块经过两个光电门的速度 v1 和 v2 ， 重复测量 6 次。 预习要求 1．如何调节气垫导轨水平？ 2．实验中所用的挡光片和光电门的作用各是什么？ 3．测量瞬时速度的基本思想是什么？ 4．如何测量匀加速直线运动的加速度？ 5．实验中如何改变合外力？怎样保证在改变合外力时保持系统总质量不变? 76 6． 实验中如何改变系统总质量？怎样保证在改变系统总质量时保持合外力不变? 7．怎样设计本实验的数据记录表？ 数据记录与处理 1．根据实验内容要求，自拟数据表格，列表记录和处理数据。 2．根据气垫导轨水平调节数据，判断导轨是否水平，分析原因。 3．每一合外力和每一总质量情况下，分别计算加速度的理论值 a、 、实验值 a、 和相对误差 B 、 a、 、 a、 、100% ，分析实验结果，判断是否验证了式（6 ）和式 a、 （8） 。 4 ．作图法判断理论与实验是否相符。用直角坐标纸或计算机分别作 a ~F 和 a~ 1 m 关系图线，判断实验是否验证了理论。通过求斜率分别计算出总质量和合外 力的实验值，与实际值（理论值）比较，分别计算相对误差 E 、 和E 、 m理 、 m实 、100% m理 F理 、 F实 、100% 。 F理 6．分析讨论实验结果，说明实验是否验证了牛顿第二定律。 注意事项 1．气垫导轨是较精密仪器，实验中避免导轨受碰撞和摩擦而变形和损伤；没有 给导轨通气时，不准在导轨上强行推动滑块。 2．实验时滑块的速度不能太大，以免滑块在与导轨两端缓冲弹簧碰撞后跌落摔 坏。 3．实验中滑块应从同一位置处静止释放，防止砝码盘摆动。 4．每次实验中要保证细线在滑轮上，细线长度要合适，太长则砝码盘可能滑块 在通过第二个光电门之前就落地了。 77 思考与讨论 1．本实验有哪些可能存在的误差来源? 2．如何判断气垫导轨真正达到水平？近似地达到水平？试分析如果导轨没有达 到水平，会对实验结果带来什么样的影响？ 3．在实验中，如果砝码盘在不断晃动，对测量结果是否会有影响?为什么? 4．实验中测量加速度，如果不通过滑轮加外力，而是利用滑块自身的重力，应 如何进行实验？试推导相应的测量公式。 78 实验三 杨氏弹性模量的测定（拉伸法） 力作用于物体所引起的效果之一是使受力物体发生形变，物体的形变可分为弹 性形变和塑性形变。固体材料的弹性形变又可分为纵向、切变、扭转、弯曲，对于 纵向弹性形变可以引入杨氏模量来描述材料抵抗形变的能力。杨氏模量是表征固体 材料性质的一个重要的物理量，是工程设计上选用材料时常需涉及的重要参数之一， 一般只与材料的性质和温度有关，与其几何形状无关。 实验测定杨氏模量的方法很多，如拉伸法、弯曲法和振动法（前两种方法可称 为静态法，后一种可称为动态法） 。本实验是用静态拉伸法测定金属丝的杨氏模量。 本实验提供了一种测量微小长度的方法，即光杠杆法。光杠杆法可以实现非接触式 的放大测量，且直观、简便、精度高，所以常被采用。 实验目的 1. 掌握用光杠杆测量微小长度变化的原理和方法，了解其应用。 2. 掌握各种长度测量工具的选择和使用 3. 学习用逐差法和作图法处理实验数据 实验仪器 杨氏模量测定仪，钢卷尺，米尺，螺旋测微计，重垂等 实验原理 一、杨氏弹性模量 设金属丝的原长 L，横截面积为 S，沿长度方向施力 F 后，其长度改变 ΔL，则 金属丝单位面积上受到的垂直作用力 F/S 称为正应力，金属丝的相对伸长量 ΔL/L 称为线应变。实验结果指出，在弹性范围内，由胡克定律可知物体的正应力与线应 变成正比，即 F 、L ＝Y S L 则 79 （3-１） Y＝ F S 、L L （3-２） 比例系数 Y 即为杨氏弹性模量。在它表征材料本身的性质， Y 越大的材料，要 使它发生一定的相对形变所需要的单位横截面积上的作用力也越大。一些常用材料 2 的 Y 值见表 1。 Y 的国际单位制单位为帕斯卡，记为 Pa （1 Pa =1 N m ；1 GPa = 109 Pa ）。 表1 一些常用材料的杨氏弹性模量 材料名称 钢 铁 铜 铝 铅 玻璃 橡胶 Y / GPa 192-216 113-157 73-127 约 70 约 17 约 55 约 0.0078 本实验测量的是钢丝的杨氏弹性模量，如果钢丝直径为 d ，则可得钢丝横截面 积S S、 、 d2 4 则（3-２）式可变为 Y、 4FL 、d 2、L （3-3） 可见，只要测出式（3-3）中右边各量，就可计算出杨氏弹性模量。式中 L （金 属丝原长）可由米尺测量， d （钢丝直径），可用螺旋测微仪测量，F（外力）可由 实验中钢丝下面悬挂的砝码的重力 F= mg求出，而 ΔL 是一个微小长度变化（在此 实验中 ，当 L≈１ｍ时，F 每变化１ｋg 相应的 ΔL 约为 0.3ｍｍ）。因此，本实验 利用光杠杆的光学放大作用实现对钢丝微小伸长量 ΔL 的间接测量。 80 1-金属丝 2-光杠杆 3-平台 4-挂钩 5-砝码 6-三角底座 镜 图 3-1 杨氏模量仪示意图 81 7-标尺 8-望远 二、光杠杆测微小长度变化 尺读望远镜和光杠杆组成如图 3-2 所示的测量系统。光杠杆系统是由光杠杆镜 架与尺读望远镜组成的。光杠杆结构见图 3-2（b）所示，它实际上是附有三个尖足 的平面镜。三个尖足的边线为一等腰三角形。前两足刀口与平面镜在同一平面内（平 面镜俯仰方位可调），后足在前两足刀口的中垂线上。尺读望远镜由一把竖立的毫米 刻度尺和在尺旁的一个望远镜组成。 (a) (b) 图 3-2 光杠杆 将光杠杆和望远镜按图 3-2 所示放置好，按仪器调节顺序调好全部装置后，就 会在望远镜中看到经由光杠杆平面镜反射的标尺像。设开始时，光杠杆的平面镜竖 直，即镜面法线在水平位置，在望远镜中恰能看到望远镜处标尺刻度 s1 的象。当挂 上重物使细钢丝受力伸长后，光杠杆的后脚尖 f1 随之绕后脚尖 f2 f3 下降 ΔL，光杠 杆平面镜转过一较小角度 、 ，法线也转过同一角度 、 。根据反射定律，从 s1 处发出 的光经过平面镜反射到 s2 （ s2 为标尺某一刻度）。由光路可逆性，从 s2 发出的光经 82 平面镜反射后将进入望远镜中被观察到。望远记 s2 － s1 = Δn. 由图 3-2 可知 tan、 、 、L tan2、 、 b 、n D 式中， b 为光杠杆常数（光杠杆后脚尖至前脚尖连线的垂直距离） ； D 为光杠杆镜面至尺读望远镜标尺的距离 由于偏转角度 、 很小，即 ΔL＜＜b，Δn ＜＜ D ，所以近似地有 、≈ 、L b ， 2、 ≈ 、n D 则 、L ＝ b · 、n 2D （3-4） 由上式可知，微小变化量 ΔL 可通过较易准确测量的 b、D、Δn，间接求得。 实验中取 D＞＞b，光杠杆的作用是将微小长度变化 ΔL 放大为标尺上的相应位 置变化 Δn，ΔL 被放大了 2D b 倍。 将（3-3）、（3-4）两式代入（3-2）有 Y、 8LD 2 、d b · F 、n （3-5） 通过上式便可算出杨氏模量 Y 。 实验仪器介绍 1．杨氏模量测定仪 杨氏模量测定仪见图 3-1 所示，三角底座上装有两根立柱和调整螺丝。可调整 调整螺丝使立柱铅直，并由立柱下端的水准仪来判断。金属丝的上端夹紧在横梁上 的夹头中。立柱的中部有一个可以沿立柱上下移动的平台，用来承托光杠杆。平台 上有一个圆孔，孔中有一个可以上下滑动的夹头，金属丝的下端夹紧在夹头中。夹 83 头下面有一个挂钩，挂有砝码托，用来放置拉伸金属丝的砝码。放置在平台上的光 杠杆是用来测量微小长度变化的实验装置。 2．光杠杆 光杠杆是利用放大法测量微小长度变化的仪器。光杠杆装置包括光杠杆镜架和 镜尺两大部分，光杠杆镜架如图 3-2（b）所示，将一直立的平面反射镜装在一个三 脚支架的一端。 3．尺读望远镜组 尺读望远镜装置如图 3-3，它由一个与被测量长度变化方向平行的标尺和尺旁的 望远镜组成，望远镜由目镜、物镜、镜筒、分划板和调焦手轮构成。望远镜镜筒内 的分划板上有上下对称两条水平刻线－视距线，测量时，望远镜水平地对准光杠杆 镜架上的平面反射镜，经光杠杆平面镜反射的标尺虚象又成实象于分划板上，从两 条视距线上可读出标尺像上的读数。 图 3-3 尺读望远镜结构图 实验步骤 84 一、杨氏模量测定仪的调整 1．调节杨氏模量测定仪三角底座上的调整螺钉，使支架、细钢丝铅直，使平台水平。 2．将光杠杆放在平台上，两前脚放在平台前面的横槽中，后脚放在钢丝下端的夹头 上适当位置，不能与钢丝接触，不要靠着圆孔边，也不要放在夹缝中。 二、光杠杆及望远镜镜尺组的调整 1．将望远镜放在离光杠杆镜面约为 1.5-2.0m 处，并使二者在同一高度。调整光杠杆 镜面与平台面垂直，望远镜成水平，并与标尺竖直，望远镜应水平对准平面镜中部。 2．调整望远镜 移动标尺架和微调平面镜的仰角，及改变望远镜的倾角。使得通过望远镜筒上 的准心往平面镜中观察，能看到标尺的像； 3．调整目镜至能看清镜筒中叉丝的像； 慢慢调整望远镜右侧物镜调焦旋钮直到能在望远镜中看见清晰的标尺像，并使望 远镜中的标尺刻度线的像与叉丝水平线的像重合； （1）消除视差。眼睛在目镜处微微上下移动，如果叉丝的像与标尺刻度线的像 出现相对位移，应重新微调目镜和物镜，直至消除为止。 （2）试加八个砝码，从望远镜中观察是否看到刻度（估计一下满负荷时标尺读 数是否够用），若无，应将刻度尺上移至能看到刻度，调好后取下砝码。 三、测量 采用等增量测量法 1．加减砝码。先逐个加砝码，共八个。每加一个砝码(1kg)，记录一次标尺的 / / 位置 ni ；然后依次减砝码，每减一个砝码，记下相应的标尺位置 ni （所记 ni 和 ni 分别应为偶数个） 。 2．测钢丝原长 L。用钢卷尺或米尺测出钢丝原长（两夹头之间部分）L。 3．测钢丝直径 d。在钢丝上选不同部位及方向，用螺旋测微计测出其直径 d， 重复测量三次，取平均值。 85 4．测量并计算 D。从望远镜目镜中观察，记下分划板上的上下叉丝对应的刻度， 根据望远镜放大原理，利用下丝读数之差，乘以视距常数 100，即是望远镜的标尺 到平面镜的往返距离，即 2D. 5．测量光杠杆常数 b。取下光杠杆在展开的白纸上同时按下三个尖脚的位置， 用直尺作出光杠杆后脚尖到两前脚尖连线的垂线，再用米尺测出 b。 数据记录及处理 1. 金属丝的原长 L = 光杠杆常数 b = 2. 表 2 测钢丝直径数据表 序号 1 2 3 D = 平均值 直径 d/mm 3. 表 3 记录加外力后标尺的读数 拉力 F 次数 标 尺 读 数 （mm） 逐 差（mm） （kg） 1 1.00 n8 i 2 2.00 n1 3 3.00 n2 4 4.00 n3 5 5.00 n4 6 6.00 n5 7 7.00 n6 8 8.00 n7 加砝码 减砝码 ni 1 其中 ni 是每次加 1kg 砝码后标尺的读数， ni 、 (ni 、 ni/ ) 2 86 (两者的平均) 4. 用逐差法处理数据. 本实验的直接测量量是等间距变化的多次测量，故采用逐差法处理数据。 计算出每增加一个 1kg 的的变化量，计算公式为: E 、 8LDF 2 、d bc N / m2 。 注意事项 1. 实验系统调好后，一旦开始测量 ni ，在实验过程中绝对不能对系统的任一部 分进行任何调整。否则，所有数据将重新再测。 2. 加减砝码时，要轻拿轻放，并使系统稳定后才能读取刻度尺刻度 ni 。 3. 注意保护平面镜和望远镜，不能用手触摸镜面。 4. 待测钢丝不能扭折，如果严重生锈和不直必须更换。 5. 实验完成后，应将砝码取下，防止钢丝疲劳。 6. 光杠杆主脚不能接触钢丝，不要靠着圆孔边，也不要放在夹缝中。 思考题 1. 材料相同，粗细长度不同的两根钢丝，它们的杨氏弹性模量是否相同？ 2. 光杠杆镜尺法有何优点？怎样提高测量微小长度变化的灵敏度？ 3. 在拉伸法测杨氏模量实验中，关键是测哪几个量？ 4. 本实验中必须满足哪些实验条件？ 5. 在有、无初始负载时，测量钢丝原长 L 有何区别？ 6. 实验中，不同的长度参量为什么要选用不同的量具仪器（或方法）来测量？ 7. 为什么要使钢丝处于伸直状态？如何保证？ 8. 简述光杠杆的放大原理. 87 实验四 扭摆法测刚体的转动惯量 转动惯量是表征刚体特性的一个物理量，是刚体转动惯性大小的量度。它取决 于刚体的质量、转轴的位置及质量分布。对于形状简单且质量分布均匀的刚体，可 以用数学方法直接计算出它绕特定轴的转动惯量；对于形状复杂质量分布不均匀的 刚体，用数学方法直接计算它的转动惯量是非常困难的，常用实验方法来测定。 转动惯量的测量一般都是使刚体以一定形式运动，通过表征这种运动特征的物 理量与转动惯量的关系进行转换测量。本实验采用扭摆法和三线摆法都是使物体作 扭转摆动，由摆动周期及其它参数的测定，计算出物体的转动惯量。 实验目的 1．用扭摆测定几种不同形状物体的转动惯量和弹簧的扭转常数。 2．验证转动惯量的平行轴定理。 实验原理 扭摆的构造如图 4-1 所示，在垂直轴 1 上装有一根薄片状的螺旋弹簧 2，用以产生恢 复力矩。垂直轴与支座间有轴承，以降低 摩擦力矩。在轴的上方可以装上各种待测 物体。3 为水平仪，用来调整系统水平。 若在轴上装上载物盘，并使载物盘在 水平面内转过一个角度，载物盘就开始绕 垂直轴作往返扭转摆动。弹簧产生的恢复 图 4-1 扭摆构造图 力矩 M 与载物盘扭转摆角 、 成正比，即 M 、 、K 、 （4-1） 式中 K 为弹簧的扭转常数。根据转动定律可得 d2、 、 K、 、 J 0 2 dt 88 （4-2） 式中 J 0 为载物盘的转动惯量。令 、2 、 K J0 （4-3） 将（4-3）式代入（4-2）式，并整理得 d2、 、 、 2、 、 0 2 dt 此方程表示扭摆的扭转摆动是一种角谐振动。方程的通解为 、 、 、m cos(、 t 、 、 ) 式中 、m 为载物盘转过的最大角度，即角谐振动的振幅， 、 为初相位。设此扭转 摆动的周期为 T0，则扭转摆动的圆频率为 、 、 2、 T0 （4-4） 由（4-3）式和（4-4）式可得载物盘转动惯量 J0、 KT02 4、 2 （4-5） 如果载物盘上装上塑料圆柱体，测出它们扭转摆动的周期 T1，则载物盘和塑料 圆柱体总的转动惯量为 J1、J 0 、 KT12 4、 2 所以，塑料圆柱体转动惯量为 J1 、 KT12 、J 0 4、 2 （4-6） / 若塑料圆柱体直径为 D1 ，质量为 m1，用公式 J 1 、 动惯量理论值。令 J 1 、 J 1、 89 1 m1D12 ，可直接计算出其转 8 则由（4-6）式可得 KT12 、 J 0 、 J 1、 4、 2 所以，弹簧的扭转常数为 K 、 4、 2 J 1、 T12 、 T02 （4-7） 把（4-7）式代入（4-5））式，载物盘转动惯量也可表示为 J 1、T02 J0、 2 T1 、 T02 若质量为 m 的物体绕通过其质心轴的转动惯量为 J，当转轴平行移动距离为 x 2 时，此物体绕通过新轴的转动惯量变为 J 、 mx 。该结论称为转动惯量的平行轴定理。 实验仪器 TH-I 型智能转动惯量实验仪：包括扭摆、载物盘、塑料圆柱体、金属圆筒、木 球、金属杆及金属滑块、转动惯量测试仪。 实验内容 1．测量物体的几何参数和质量 测出塑料圆柱体的直径，金属圆筒的内、外径，木球的直径，金属细长杆的长 度；测出以上各物体的质量。 2．仪器调整 （1）调整扭摆基座底脚螺丝，使水平仪的气泡位于中心。 （2）装上载物盘，调整光电探头的位置使载物盘上的挡光杆处于缺口中央，且 能自由往返地通过光电门，再将光电传感器的信号传输线插入主机输入端。 （3 ）开启主机电源，“ 摆动” 指示灯亮，参量指示为“P1” 数据显示为 “……”。 （4）按“执行”键，数据显示为“000，0”，表示仪器已处在等待测量状态。 90 当被测的往复摆动物体上的挡光杆第一次通过光电门时，仪器开始连续计时，直至 仪器所设定的周期数时，便自动停止计时，由“数据显示”给出累计的时间，同时 仪器自行计算周期并予以存储，以供查询和作多次测量求平均值。至此，“P1” （第 一次测量）测量完毕。（本机设定扭摆的周期数为 10，如要更改，可参照仪器使用 说明书进行重新设定。更改后的周期数不具有记忆功能，一旦切断电源或按“复位” 键，便恢复原来的默认周期数。 ） （5）若再次按“执行”键，“P1”变为“P2” ，数据显示又回到“000，0” ，仪 器处在第二次待测状态。本机设定重复测量的最多次数为 5 次，即（“P1”， “P2”，…，“P5” ） 。通过“查询”键可知各次测量的周期值 ci( i =1,2,…,5）以及 它们的平均值。 3．测量弹簧扭转常数和各物体转动惯量 （1）转动扭摆上的载物盘并在摆角为 90°左右释放，测定摆动周期 T0。 （2）将塑料圆柱体垂直放在载物盘上，按照实验内容 3.（1）的方法，测定摆 动周期 T1。 （3）用金属圆筒代替塑料圆柱体，按照实验内容 3.（1）的方法，测定摆动周 期 T2。 （4）取下载物盘，装上木球，重新调整光电探头的位置，使木球上的挡光杆处 于缺口中央，转动木球并在摆角为 90°左右释放,测定摆动周期 T3。 （5）取下木球，装上金属细杆（金属细杆中心必须与转轴重合），重新调整光 电探头的位置，使金属杆一端处于缺口中央。转动金属杆并在摆角为 90°左右释放， 测定摆动周期 T4。 4．验证转动惯量的平行轴定理 将两个滑块对称放置在细杆两边的凹槽内，此时滑块质心离转轴的距离分别为 5.00cm，10.00cm，15.00cm，20.00cm，25.00cm。按照实验内容 3.（5）的方法， 依次测出滑块在不同位置的周期。 91 数据处理 1．把所测数据填在表 4-1 和表 4-2 中。 表 4-1 物体 名称 质量 /kg 不同物体的摆动周期 几何尺寸 、2 、10 /m 金属 转动惯量理论值计 周期 实验值计算式 、4 、10 算 式 、10、4 /kg·m2 /s /kg·m2 T0 J0、 载物 盘 J 1、T02 T12 、 T02 T0 D1 塑料 T1 J 1、、 m1D12 1 8 J1、 KT12 、J 0 4、 2 J 2、、 m2 (D外2 、 D内2 ) 1 8 J2、 KT22 、J 0 4、 2 1 m3D直2 10 J3、 KT32 、J支 4、 2 1 m4l 2 12 J4、 KT42 、J夹 4、 2 m1 圆柱 D1 T1 D外 D外 金属 T2 m2 圆柱 木球 D内 D内 T2 D直 T3 J 3、、 m3 金属 m4 D直 T3 l T4 J 4、、 细杆 92 百 分 差 T4 l 表 4-2 滑块质心离轴不同距离的摆动周期 滑块质心离轴的距 5.00 、10、2 /m 离x 10.00 15.00 20.00 25.00 摆动周期 T/s 摆动周期平均值 T/ s 实验值 (J 、 K 4、 2 T2 、 J 夹) 、10、4 /kg·m2 理论值 、J 、、 J 、 2mx 、 J 、 2 4 5 、10、4 /kg·m2 百分差 表 4.1-1 和 表 4.1-2 中 ， J 支 =0.187×10-4kg·m2 为 球 支 座 转 动 惯 量 ， J 夹 =0.321×10-4kg·m2 为金属细杆夹具转动惯量， J 5 =0.772×10-4kg·m2 为两金属滑 块转动惯量之和。m =239.0g 为单个金属滑块的质量。 2．计算弹簧的扭转常数 K 和载物盘的转动惯量。 3．计算各物体的转动惯量实验值和理论值，并求出相对误差。 4．计算滑块质心离轴不同距离时的转动惯量实验值和理论值，并求出相对误差。 93 注意事项 1． 由于弹簧的扭转常数 K 值不是固定常数， 它与摆动角度略有关系， 摆角在 90° 左右基本相同，在小角度时变小。在测定各种物体的摆动周期时摆角不宜过小，摆 幅也不宜变化过大。 2．光电探头应放在挡光杆平衡位置处，且它们不能相互接触，以免增大摩擦力 矩。 3．应先让扭摆自由摆动，然后按“执行”键进行计时。 4．在安装待测物体时，其支架必须全部套入扭摆主轴并将止动螺丝旋紧，否则 扭摆不能正常工作。 5．在测量金属细杆的质量和长度时应把夹具取下。称木球质量时应把支座取下。 6．在测量过程中，机座应保持水平状态。 预习思考题 1．如何测量任意形状物体对特定轴的转动惯量？ 2．扭摆启动时摆角要在 90°左右，为什么？ 分析讨论题 1．扭摆在摆动过程中受到哪些阻尼？它的周期是否会随时间而变？ 2．扭摆的垂直轴上装上不同质量的物体，在不考虑阻尼的情况下分析对摆动周 期大小的影响。 94 实验五 金属线胀系数的测定 材料的线膨胀是材料受热膨胀时，在一维方向的伸长。线胀系数是选用材料的 一项重要指标，特别是研制新材料时，对材料的线胀系数测定是一个重要内容。本 实验用光杠杆放大法对金属的线胀系数进行测定，从实验中还可学习如何分析影响 测量精度的诸因素。 实验目的 1.学习用光杠杆法测金属线胀系数的原理。 2.进一步掌握调整光杠杆和望远镜的基本要领。 3.学习游标卡尺测长度的方法。 实验原理 固体受热后其长度的增加称为线膨胀。在一定的温度范围内，原长为 L 的物体， 受热后其伸长量 、L 与 L 成正比，与温度的增加量 、t 近似成正比，即 、L 、 、 L 、 t （5-1） 式中的比例系数 α 称为固体的线膨胀系数（简称线胀系数）。实验表明，一般来 说塑料的线胀系数最大，金属次之，因瓦合金、熔凝石英的线胀系数很小。因此， 因瓦合金和石英的这一特性在精密测量仪器中有较多的应用。几种材料的线胀系数 见下表。 材料 铜、铁、铝 普通玻璃、陶瓷 因瓦合金 熔凝石英 α 的数量级（℃－1） 约 10－5 约 10－6 ＜2×10－6 约 10－7 实验还发现，同一材料在不同温度区域，其线胀系数不一定相同。某些合金在 金相组织发生变化的温度附近，同时会出现线胀量的突变。因此测定线胀系数是了 解材料特性的一种手段。但是，在温度变化不大的范围内，线胀系数仍可认为是一 常量。 为测量线胀系数，常常将材料做成条状或杆状，本实验就是测定金属管的线胀 95 系数。由（5-1）式可知，若测量出温度为 t1 时的管长 L 、受热后温度达到 t2 时管 的伸长量 、L 和受热前后的温度 t1 、 t2 ，则线胀系数可写为 、、 、L L(t2 、 t1) （5-2） 线胀系数 α 的物理意义是：固体材料在温度（ t1 ， t2 ）区域内，温度每升高 1℃ 时材料的相对伸长量，单位为℃-1。 线胀系数测量中的主要问题是如何测微小伸长量 、L ，本实验用光杠杆放大法进 行测量。光杠杆测微小伸长量原理见（实验三） 。由关系式 、L 、 、L 、 b 、n 可得 2R b(n2 、 n1) 2R （5-3） 这里 2R/b 是光杠杆的放大倍数。把（5-3）式代入到（5-2）得 、、 b(n2 、 n1) 2LR(t2 、 t1) （5-4） 式中 L 是待测金属杆的长度， R 是光杠杆平面反射镜到望远镜标尺的距离，b 是光杠杆的臂长， n1 、 n2 是对应 t1 、 t2 时标尺的像的读数。（5）式是本实验所依 据的公式。 实验仪器 线胀系数测定仪，光杠杆，望远镜及标尺，数字温度计，钢卷尺，钢直尺，游 标卡尺，待测金属管等。 96 图 5-1 测定线胀系数的实验装置 1.线胀系数测定仪的实验装置如图 5-1 所示，它由底座、外筒、支杆、放置光 杠杆的平台和给被测金属管加热的加热管组成。支杆、平台与底座牢固地连接在一 起。待测金属管中放置与数字温度计相连的探测棒。 2.游卡尺 游标卡尺是比钢尺更精密的测量长度的工具，它的精度比钢尺高出一个数量级。 游标卡尺的结构如图 5-2 所示。 图 5-2 游标卡尺 主尺 D 是钢制的毫米分度尺，主尺上附有外量爪 A 和内量爪 B ，游标上有相应 的外量爪 A' 和内量爪 B' 以及深度尺 C，游标紧贴主尺滑动，F 是固定游标的螺钉。 游标卡尺可用来测量物体的长度和槽的深度及圆环的内外径等。 （1）游标原理。游标卡尺的特点是让游标上的 n 个分格的总长与主尺上 (n 、 1) 97 个分格的总长相等。设主尺上的分度值为 a ，游标上的分度值为 b ，则有 nb、 (n 、 1)a 主尺上 1 个分格与游标上 1 个分格的差值是 a、b、 a n 这里 a/n 就是游标卡尺的最小分度值。 以 10 分度的游标卡尺为例。当它的量爪 A、A′合拢时，游标的零刻线与主尺的 零刻线刚好对齐，游标上第 10 个分格的刻线正好对准主尺上第 9 个分格的刻线，如 图 5-3 所示。 则游标的 10 个分格的长度等于主尺上 9 个分格的长度，而主尺的分 度值为 a = 1mm,那么游标上的分度值为 b = (9/10)mm.则其最小分度值为 a/n = (1/10)mm = 0.1mm. 图 5-3 10 分度游标原理 图 5-4 20 分度游标原理 若是 20 分度的游标卡尺，则游标上的 20 个分格的长度正好等于主尺上 19 个分 格的长度，如图 5-4 所示。那么，a = 1mm, b = (19/20)mm = 0.95mm，则此游标卡 尺的最小分度值为 0.05mm。 同理对 50 分度的游标卡尺，a = 1mm，b =（49/50）mm = 0.98mm,那么其最小 分度值为 0.02mm。 （2）游标卡尺的读数要点。测量时，主尺上的读数以游标的零刻线为准，先从 主尺上读毫米以上的整数值。毫米以下从游标上读出，若游标上第 n 条刻线正好与 主尺上某一刻线对齐，则毫米以下的读数为 n 乘以最小分度值。图 5-5 所示 20 分度 的游标卡尺，其游标上第 7 条刻线正好与主尺上的某一刻度线对齐，毫米以下的读 98 数为 7×0.05 mm = 0.35mm，则最后读数为 42.35mm。图 5-6 所示的游标上的第 2 条 刻线与主尺上的刻线对齐，毫米以下的读数 为 2 × 0.05 = 0.10mm，则最后读数为 37.10mm。 图 5-5 20 分度游标读数：42.35mm 图 5-6 20 分度游标读数：37.10mm （3）游标卡尺使用的注意事项： ①用游标卡尺测量前，应先检查零点。即合拢量爪，检查游标零线和主尺零线 是否对齐，如零线未对齐，应记下零点读数，加以修正。 ②不允许在卡紧的状态下移动卡尺或挪动被测物，也不能测量表面粗糙的物体。 一旦量爪磨损，游标卡尺就不能作为精密量具使用了。 ③用完卡尺应放回盒内，不得乱丢乱放。 实验步骤 1.仪器的安装和调整 （1）用钢尺测量待测金属管的长度 L 后，将其轻轻插入线胀系数测定仪的加热 管中，使其与底座紧密相接，上端露出少许在筒外。 （2）将探测棒（与数字温度计相连）插入金属管内（此时切记要小心，不要弄 断电路），并连接电路（但不通电） 。 （3）将光杠杆的两前足放在平台的槽中，后足立于金属管的顶端，并使三足尖 在同一平面上。望远镜及标尺放在光杠杆前约 1.5m 处，望远镜筒与光杠杆等高。粗 调光杠杆平面镜使法线大致与望远镜同轴，且平行于水平底座。 （4）细调光杠杆系统的光路。先用眼睛在望远镜筒外找到平面镜中标尺的像； 然后缓缓地变动平面镜法线方向，使眼睛观察像的方位逐渐与望远镜的方位一致； 99 这时再从望远镜内观察标尺的像，并稍作调整使观察到的像为望远镜附近的标尺刻 度的像。 （5）调节望远镜。调节目镜看清十字叉丝；调节调焦手轮，使标尺成像清晰且 与叉丝无视差。 2.测量数据 （1）记下初温 t1 ，读出望远镜中十字叉丝处标尺像的刻线数值 n1，然后通电给 金属管加热。 （2）加热过程中温度每增加 10℃时记录一次温度值 ti ，并同时读出望远镜中 十字叉丝处标尺像的刻线数值 ni ，记录在数据表格中。当温度升高到 90℃以上后停 止加热，并记下最后的数值 tm 和 nm。 （3）测量光杠杆常数 b 和光杠杆平面镜到标尺的距离 R 。 注意事项 （1） 线胀系数测定仪中的外筒及加热管不要固定太紧，因为在加热过程中它 也会伸长，从而使支杆变形影响放置光杠杆平台的水平。 （2） 实验过程中所有仪器不能稍有碰动，否则将前功尽弃！ 数据处理 1. 测量 ni 的数据表格及计算不确定度 Un2 、n1 、 Ut2 、t1 . 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 温度 t/ oC 标尺读数 ni / mm 开始加热时的温度为 t1 ，温度升到最高温度时的温度 tm 取为（5-4）式中的 t2 ， 100 相应有 n1 、 n2 。由于是单次测量，不确定度由 B 类分量 、B 决定。望远镜的读数误 差主要由标尺的示值误差决定，则取 U n2 、 n1 、 U B 、 、 尺 ＝ 0 .5 mm 。同理， 温 度 的 测 量 误 差 也 是 由 温 度 计 的 仪 器 误 差 限 决 定 ， 其 值 为 0.5 ℃ ， 则 取 U t 、 t 、 U B 、 、 仪 ＝ 0 .5 oC. 2 1 2.其它直接测量数据及不确定度 金属管长 L 、光杠杆常数 b 及平面镜到标尺的距离 R 都是单次测量值，都不考 虑 A 类不确定度分量，只考虑 B 类分量，即主要由仪器误差限决定。 金属管的长度 L 用钢尺测量，UL = ⊿尺 = 0.5mm，L = ( ± )mm. 光 杠 杆 常 数 b 用 50 分 度 游 标 卡 尺 测 量 ， Ub=0.02mm ， b = ( ± )mm. 距离 R 用钢卷尺测量，UR = 0.5mm，R = ( ± )mm。 3.计算线胀系数 α 及不确定度 由公式（5-4）有 、 、 b(n2 、 n1 ) 、 2LR (t2 、 t1 ) ℃－1 不确定度为 2 2 2 2 2 、U 、 、U 、 、U 、 、U 、 、U t2 、t1 、 、 、 、 n2 、n1 、 、 、 b 、 、 U、 、 、 、 、 L 、 、 、 R 、 、 、 、 、 、 、L 、 、R 、 、 、t2 、 t1 、 、n2 、 n1 、 、 b 、 ℃－1 ℃－1 测量结果为 、 ＝、 、 U 、 、 实验思考题 1. 游标卡尺的使用注意事项是什么？ 2.本实验测量公式（5-4）中，各个长度量分别用不同仪器测量，是根据什么原 则确定的？哪一个量的测量误差对结果的影响最大？ 101 3.在实验中若仪器的支杆也由于受热而膨胀， 则对实验结果将产生怎样的影响？ 102 实验六 二极管伏安特性的测定 实验目的 1、掌握用伏安法测二极管伏安特性的方法及仪表的选择； 2、掌握分压器和限流器的使用方法，学习减小系统误差的方法； 3、了解二极管的正反向伏安特性。 实验仪器 伏特表（两个）、毫安表、微安表、滑线变阻器（两个）、直流电源、待测二极 管（2AP 型） 、万用表、双刀开关等。 实验原理 U 用伏特表和安培表分别测出在直流电路中一个元件两端的 I U 电压 U 和通过该元件的电流强度 I，其比值 称为该元件的电阻。这种测量的方法 I 1．根据公式 R 、 称为伏安法。它是一种间接测量的方法。若某个元件两端的电压和通过该元件的电 流成正比，则伏安特性曲线为一直线，这类元件称为线性元件；若元件两端的电压 与通过它的电流不成正比，则伏安特性曲线不再是一条直线，而是一条曲线，这类 元件称为非线性元件。 晶体二极管又叫半导体二极管，它是由两种具有不同导电性能的 N 型半导体和 P 型半导体结合形成的 P—N 结所构成的。它有正、负两个电极，正极由 P 型半导体引 出，负极由 N 型半导体引出，如图 6－1 所示。图的下方为二极管在电路中的符号。 把二极管两端加上正向电压（即二极管的正极接高电位，负极接低电位）时， 则电路中有较大的电流，随着正向电压的增加，电流也增加，但电流的大小并不和 电压成正比；若在二极管两端加上反向电压（即二极管的正极接低电位，负极接高 电位），那么电路中的电流很微弱，其电流和电压的关系也不成比例，因此二极管是 一个非线性元件。二极管的正、反向特性曲线如图 6－2、6－3 所示，它是正确运用 二极管的必要资料。 103 图 6－1 图 6－2 图 6－3 2．电表的连接和接入误差 用伏安法测量二极管的特性有两种接线方式，见图 6－4 和图 6－5。前者称为 安培表内接，后者称为安培表外接。 （1）安培表内接。在图 6－4 中，安培表的读数为通过待测二极管的电流 I； 伏特表的读数 V 为安培表两端的电压 VA 与二极管两端的电压 Vx 之和，即 V 、 Vx 、 VA ， 因而这种接法所产生的相对接入误差（需要知道的是 Vx，而测出来的是 V，两者之 差称为接入误差）为： 、V Vx 、 VA RA 、 Vx Rx 其中 RA 为安培表的内阻，Rx 为待测二极管的电阻。从而可知，若安培表的内阻 远小于二极管的电阻，内接法产生的接入误差小；反之，若安培表内阻较大就会造 成可观的接入误差，故安培表的内阻越小越有利于测量。 图 6－4 图 6－5 104 （2）安培表外接。在图 6－5 中，伏特表的读数为待测二极管两端的电压 V， 电流表的读数则为通过待测二极管和伏特表的电流之和 I，即 I=Ix+Iv，外接法所引 起的相对接入误差为 、I Ix 、 I v Rx 、 I x Rv 其中 Rv 为伏特计的内阻。从而可以看出，若伏特表的内阻远大于待测二极管的 电阻时，相对接入误差小；反之，若伏特表内阻较小，就会造成可观的接入误差。 所以伏特表的内阻越大越有利于测量。接入误差是系统误差，只要知道伏特表的内 阻 Rv 和安培表的内阻 RA，总可以把接入误差计算出来加以修正。但这样毕竟麻烦， 通常是适当选择电表和接法使接入误差减少到能忽略的程度。 在具体的测量中，哪种接法比较好？没有统一的答案。只有根据被测对象和电 表规格加以计算才能比较出来。一般说来，如果待测对象的阻值高，则安培表内接 较多；若待测对象的阻值低，安培表外接的较多。 实验步骤 1．测量二极管的正向特性 按图 6－6 接好电路。电源电压约 2V，用 R1 和 R2 两个变阻器控制电流。且接成 制流电路，其中 R1 的阻值较大，作为主要调节（粗调），R2 阻值较小，作为细调。 实验从 0V 开始，约每隔 0.1V 读数一次，直到电流达到二极管最大正向工作电 流 Im 为止。记录每次毫安表、伏特表的读数，并据此作出二极管的正向特性曲线。 105 图 6－6 2 图 6－7 测量二极管的反向特性 按图 6－7 接好电路，电源电压约为 30V，控制电路仍用 R1 和 R2 两个变阻器， 但接成分压电路，阻值较大的变阻器 R1 用作粗调，R2 作为细调。实验从 0V 开始， 每隔 2～3V 读数一次，直到约 30V 为止。记录每次微安表、伏特表的读数。最后， 根据测量数据作出二极管的反向特性曲线。 注意事项 1．测正向特性时，电流要小于二极管本身允许通过的最大电流值！测反向特性 时，电压要小于二极管本身反向最大电压值！ 2．选择合适的电表和电表量程，并注意更换电路时，变阻器活动端的安全位置。 预习思考题 1．在测量二极管的正向特性时，滑线变阻器为什么接成限流电路，测量反向特 性时，又为什么接成分压电路？ 2．电流表在什么情况下内接？什么情况下外接？ 106 实验七 电表改装与校准（设计性实验） 实验目的 1. 掌握将微安表改装成毫安表和伏特表的原理和方法。 2. 学会利用分流电阻扩大电流表的量程；利用扩程电阻扩大电压表的量程。 3. 学会校正改装后的电流表和电压表的基本方法。 实验仪器 磁电式表头（100μA的微安计）、直流毫安计、微安计、伏特计、电阻箱、滑 线变阻器（全电阻为1750Ω和300Ω左右的各一个）、直流稳压电源、开关（2个）、 导线若干。 实验提示 1．先测量微安表头的内阻 R g 首先，利用实验室给出的仪器和元件，自行设计出用半偏法（或其它方法）测 量微安表内阻的实验方案（要保证表头的安全，不可使其通过的电流超过其量程）。 实验方案设计应包括：测量原理、测量线路、仪器的选择、测量条件、实验步 骤。（上实验课前，画好电路图）。 其次，根据实验方案设计进行实验操作，测出数据并记录。 2. 将 100 μA 的表头改装成量程为 10mA 的电流表 根据实测出的 R g 和 I m 计算出分流电阻 R P 的数值。（课前应推导出计算 R P 的 公式）。实验时 R P 用电阻箱代替，改装电流表原理图如 7-1 所示。 图 7—1 并联分流电阻改装成电流表 图 7—2 107 串联扩程电阻改装成电压表 设计出电流表校准方案（包括：测量线路、仪器的选择、测量条件、实验步骤 等）,进而校准改装的电流表。 注意：标准表使用 0.5 级的电流表。 校准电流表量程时，要先调好表头零点（机械零点），然后调节滑线变阻器和电 阻箱使标准表示值为 10mA。这时改装表示值应该正好是满刻度值，若有偏离，可反 复调节滑线变阻器和分流电阻 RP ，直到标准表和改装表均和满刻度线对齐为止，这 时改装表量程就符合要求， 此时 RP 的值才为实验值， 否则电流表的改装就没有成功！ 校准刻度：刻度的校准可均匀地取五个校准点，使待校电表的读数依次经过这 五个校准点。读出 I X 和 I S ，并计算出相应的 、I x (、I x 、 I s 、 I x ) 值，一并填入表格。 （记录数据的表格在课前自行拟好）。 3．将 100 μA 的表头改装成量程为 1V 的电压表 先求出分压电阻 RS ，（课前应推导出计算 RS 的公式） 。改装电压表原理图如 7-2 所示。 设计出电压表校准方案（包括：测量线路、仪器的选择、测量条件、实验步骤 等），进而校准改装的电压表。 注意：标准表使用 0.5 级的电压表。 当零点及改装表的量程都校准后，调节滑线变阻器，使改装表由满刻度开始逐 渐减小直到零；同时记下改装表（ U x ）和标准表（ U S ）相应的电压读数，并计算 出相应的 、U x （ 、U x = U S 、 U x ）值，将数据填入自行设计的表格中。 4．确定改装电流表和电压表的准确度等级 指针式直流电表按准确度分为七级：0.1；0.2；0.5；1.0；1.5；2.5；5.0。电 表的准确度等级是用电表的标称误差的百分数值表示的。 、、、、 、 最大的绝对误差 、100% 量程 108 根据实验中校正电表时得到的误差分布，在电表（电流表、电压表）的整个量 程内，找出其最大的绝对误差，依据上面的公式，可求出改装表的标称误差。 进而依据表 7—1，可确定出改装电表的准确度等级。 表 7-1 电表的准确度等级及其标称误差 电表的准确度等级 标称误差（%） 0.1 0.2 0.5 1.0 1.5 2.0 5.0 ±0.1 ±0.2 ±0.5 ±1.0 ±1.5 ±2.0 ±5.0 预习思考题 1．你认为采用何种方法、使用何种仪器能测出微安表头的内阻 Rg 及满刻度时 电流的实际值？ 2．在校正电流表时，如果发现改装表的读数相对于标准表的读数都偏高，试问 要达到标准表的数值，此时分流电阻应调大还是调小？为什么？ 3．校正电压表时，如果发现改装表的读数相对于标准表的读数都偏低，试问要 达到标准表的数值，此时扩程电阻应调大还是调小？ 109 实验八 示波器的使用 示波器是一种用途广泛的电子测量仪器，用它能直接观察电信号的波形，也能 测定电压信号的幅度、周期和频率等参数。用双踪示波器还可以测量两个信号之间 的时间差或相位差。凡是能转化为电压信号的电学量和非电学量都可以用示波器来 观测。借助示波器我们可以直观地“看到”电路各点的状态。示波器的扫描方式是 一个可以看到波形的“电压表” ；Ｘ－Ｙ方式可以观察两个电子信号的垂直方向的合 成，因此示波器是电子工作者的重要工具。 实验目的 1. 了解通用示波器的结构和工作原理，掌握各个旋钮的作用和使用方法； 2. 学会音频信号发生器的使用方法； 3．学会用示波器观察波形以及测量信号的电压和频率； 实验仪器 示波器、信号发生器等 实验原理 电子示波器（简称示波器）是一种能将随时间变化的电压信号直观的显示在荧 光屏上的仪器。示波器由示波管、Y 轴系统、X 轴系统等组成。图 8-1 是示波器的原 110 图 8-1 示波器的原理框图 理框图。 １．示波器的聚焦和偏转原理 示波器中用于显示波形的真空玻璃管叫阴极射线管，简称示波管。如图 8-2 所 示。示波管的正面是一个涂有荧光物质的圆形屏，当管中的高速运动电子打上去时， 就会发出荧光。一般的示波器都是热阴极：阴极由灯丝通电加热后，阴极上的电子 由于热运动而脱离出阴极，称为热激发。由于示波器中的第二阳极电压比阴极高上 千伏特。因此， 电子被加速后轰击到荧光屏上，使该处的荧光物质发光。 （1）辉度 设电子由阴极热激发时的速度为 V0 ,电子到达第二阳极的速度为 V2 ,阴极和阳 极之间的电压为 U2 ,则有： 1 1 mV22 、 mV02 、 eU2 2 2 式中 m 是电子的质量，且 V0<