立足2023试题分析，展望2024备考方向（下）-王珍.pdf

立体几何教学建议 立体几何教学建议 二强化基础、融会贯通： 从今年新高考1.2卷及全国甲乙卷看立体几何， 没有一个偏、难、怪的题目，更注重考查几何 体的性质，小题主要考查：柱、锥、台从表面 积到体积，从内置几何体到外置几何体，对于 平面几何的知识也要格外重视。 大题主要考查平行、垂直，三角，三距 重基础，抓运算是关键 立体几何备考建议： 因立体几何的综合小题考查学生的推理论证能力，运算求解能力， 空间想象能力，立体几何的小题压轴成为高考小题压轴的常见形式， 所以 在复习立体几何的小题要上难度，把球的问 题，翻折变化求最值问题，截割变化问题，空间中的变化探研问题， 面的扩充等重难点问题要让好学生练透。 立体几何教学建议 • 传统法加强（二面角线面角距离）对于“空间 角的定义”，几何法在解决空间角度问题中也 是不可或缺的途径，立体几何的核心是考察 直观想象和空间思维，一味的强调空间向量， 弱化定义的讲解，容易让学生过于依赖建系， 只强化计算，禁锢思维“射影”等重要的概念， 需要加强讲解，对于“作证指求”也应做相对 应的训练，还要强化基本公式，表面积体积 及计算的准确性。 立体几何教学建议 逐步培养学生的空间想象能力，使其熟悉直线与直 线 ，直线与平面，平面与平面的空间位置关系的判 定与性质。掌握柱、锥、台、球的相关知识。掌握 向量运算的基本法则并能将其用于立体几何问题的 求解。进而达到能根据条件作出正确的图形，或能 根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中 基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合； 会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。 —2022新高考Ⅱ卷立体几何考点分布（27分） （三个与体积有关） —2022新高考Ⅰ卷立体几何考点分布（27分） 【2.46】 本题的命题背景是《九章算术》中的堑堵和鳖臑，特殊之处为本题是正方体的一 半，即底面为等腰直角三角形的直三棱柱. 从考察内容上看， 第（1）问考查了三棱锥的体积公式以及等体积法的应用； 第（2）问考查了面面垂直的性质以及二面角的求解. 从设问形式上看， 第（1）问 一反常态，没有考查平行与垂直问题，因此导致部分基础不牢固的学 生不知所措； 第（2）问看似中规中矩，却在建系的条件中设置障碍，导致部分同学盲目建系 或对线段长度任意取值. 从计算量上看，本题的计算量不大，达到了“多想少算”的目的. 从平均分数上看，2021年立体几何平均5.77分，2022年立体几何平均2.48分，对于 中低等水平学生的区分度很高. 考查了学生的直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养. A1 C1 B1 D C A B 得分点：体现 柱体体积是锥体体积的3倍·······2分； 体现 距离为 ·······2分. 常见问题：写成 不得分；第一问建系得 0 分. A1 (2)第一步：证明 C1 B1 D E A C B 得分点：体现 即可. 题目 核心 长度 建系 (2)第二步：得到 A1 C1 B1 法1： 2 D E √3 2√2 A ········2分 (利用第一问距离求AB，再求BC ) 2 法2： C 2 B 常见问题：假设BC=2 0分；在图中详细标注线段长度BC=2 给2分 (利用已知体积和面积，求AB和BC ) (2)第三步：求二面角 法1：（向量法） ········1分（图中画出坐标系也给分；第一问 建系，第二问没有建系过程的不给分） ········1分 2 √3 2√2 ········1分 常见问题：BC长度错误，法向量正确与否都是 0分； 2 2 (2)第三步：求二面角 法1：（向量法） ········1分 常见问题：①角度错误： ③建系错误：以AB、AC为 x、y轴 ②计算错误： (2)第三步：求二面角 A1 法2：（三垂线定理） C1 B1 D E O ········1分 A C B ········1分 作→证→指→求 ········1分 (2)第三步：求二面角 法2：（三垂线定理） A1 C1 B1 D E √3 2 O √2 2√2 A C 2 2 B ········1分 (2)第三步：求二面角 法3：（射影面积） A1 C1 B1 D E ········1分 A C B ········每个面积各1分 ········1分 (2)第三步：求二面角 法4：（二面角定义1） A1 C1 B1 D E O A ········2分 C B (2)第三步：求二面角 (2)第三步：求二面角 法5：（二面角定义2） A1 C1 B1 2 D E O √3 2√2 A C 2 B 2 新人教A版 必修二 P160页 例10 ①回归课本 追根溯源 强化鳖臑、侧棱垂直（直 角三棱锥）、对棱相等 （等腰四面体）等特殊的 三棱锥模型 试题呈现 立意分析 解答过程 备考启发 ②打通脉络，具备常识 选择题T5中涉及到互质的小学概念， 本题中涉及等底等高的柱体体积是锥体体积的3倍，同属于小学概念； 而很多学生不具备数学基本常识，在后续的复习中，应打破壁垒，打通 脉络，比如： （小学）余数，质数合数，单位换算，内积等于外积，最大公约数，最 小公倍数，最简分数（既约分数）等； （初中）有理数，科学记数法，算术平方根，立方和（差）公式，因式 分解，二次函数，三线八角，外角，相似和全等，等腰三角形性质，三 角形四心，梯形中位线，多边形内角和，圆内接四边形，圆幂定理等. ③解题动机，条件分析 培养学生深入发掘条件的能力，而非惯性思 维、生搬硬套。 本题第一问条件中，围绕体积和面积展开描 述，问题中又涉及距离，此处利用等积法的 动机已经非常强烈了. 第二问条件中，围绕等腰和面面垂直展开描 述，两个条件都在提示利用等腰三角形三线 合一（正方形对角线） ④定义深化，双向通行 从本题第二问的方法中，我们不难发现几何法在解决空间角 度问题中也是不可或缺的途径，立体几何的核心是考察直观 想象和空间思维，一味的强调空间向量，弱化定义的讲解， 容易让学生过于依赖建系，只强化计算，禁锢思维，尤其在 已知条件中涉及有关线面角和二面角的内容时，学生无从下 手，因此在备考过程中，对于“空间角的定义”，“射影”等重要 的概念，需要加强讲解，对于“作证指求”也应做相对应的训 练. ⑤规范答题，表述合理 第一：牢记建立右手系，写清楚建系过程，且最好严谨证明建系 过程，务必在答题卡图形上画出坐标系. 第二：证明的步骤不能省略或者简写，有些学生由面面垂直，直 接得到线线垂直，省略了最关键的线面垂直造成失分；有很多同学 得到了BC与AB的长度关系，只写出了AB，只用AB表示了BC，没有 直接给出BC数值，造成了丢分. 第三：如果有些条件没有严谨的证明出来，也要大胆的做好猜 想，大胆的往下写，得分点之间很大几率是相互独立的，所以某一 步骤不严谨不影响后面的计算，要具备坦然无畏的心态. —2022新高考卷立体几何考点分布（27分）（三 个与体积有关） 2022新高考Ⅱ卷立体几何考点分布（22分） 2022高考立体几何小题分析 圆锥概念 视角1：基础知识考查 2022高考立体几何 典例分析1，多面体体积 视角1：基础知识考查 2022高考立体几何 典例分析1，多面体体积 视角1：基础知识考查 1 1 1 VA A1BC  S A1BC  h  VA1  ABC  S ABC  A1 A  VABC  A1B1C1 3 3 3 2022高考立体几何 典例分析1，多面体体积 (阅读能力、分析能力、抽象能力，情境，台体体积，估算) 典例分析 相似：2017年全国1卷理 典例分析 方法一：由球的体积为 36 ，所以球的半径 R  3 , 设正四棱锥的底面边长为 2a ，高为 h ， 则 l 2  2a2  h2 ， 32  2a2  (3  h)2 , 所以 6h  l 2 ， 2a2  l 2  h2 l 的范围是已知的，故而可以转化成关于 l 的函数 1 1 2 l4 l2 1  4 l6  2 2 ) = l  所以正四棱锥的体积 V  Sh   4a  h   (l   3 3 3 36 6 9 36  典例分析 解：方法二：设 APO   ，则 l  2  3cos  V  1 1 2 Sh   2 AO1  PO1   (l sin  ) 2  l cos   144sin 2  cos 4  3 3 3 令 f ( )  144sin 2  cos 4  ，则 f ( )  288sin  cos3  (1  3sin 2  ) ， 可得当 sin   64 3 时， l  2 6  [3,3 3] ，此时 f max ( )  3 3 又 l  3 时， cos   1 27 3 ，V  ， sin   4 2 2 当 l  3 3 时， cos   1 81 3 ， sin   ， V  , 4 2 2  27 64  ， . 所以该正四棱锥体积的取值范围是  视角2：基础+情境、文化、阅 读 （2021年北京卷8） 定义：24小时内降水在平地上积水厚度 （mm）来判断降雨程度．其中小雨（<10mm），中雨 （10mm-25mm），大雨（25mm-50mm），暴雨（50mm100mm），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图， 则这天降雨属于哪个等级（ ）. A. 小雨； B. 中雨； C. 大雨； D. 暴雨. 圆柱、圆锥的体积 视角2：基础+材料阅读 （2021年新高考Ⅱ卷4） 是我国航天事业的 重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道 所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距 离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬 度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球 静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面 积为S  2 r 2 (1  cos ) （单位：km2），则S占地球表面积的百分比约 为（ ） A. 26% B. 34% C. 42% D. 50% 球冠的面积 公式𝑆 = 2𝜋𝑟ℎ (阅读能力、分析能力、抽象能力) 视角2：基础+情境文化阅读 视角3：球的性质综合 策略一：大圆法 （抓取成镜面对称的几何体的“中垂面”） 视角3：球的性质综合 策略二：三个经典模型（抓取“轴截面”） 圆柱模型；圆锥模型；圆台模型 策略三：小圆法 （1）类比圆中（垂径定理找圆心）情形，利用球的截面性质 （过截面圆心且与截面垂直的直线必过球心）锁定球心. （2）往往适用于多面体某些面的外接圆圆心位置较明确时. 视角3：球的切、接、交问题 （2020年新高考Ⅰ卷16）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的 棱长均为2，∠BAD=60°．以D1为球心， 5 为半径的球面与 侧面BCC1B1的交线长为________． 视角4：位置关系+空间角 视角5：动点+平行、垂直关系的判定 （2021年新高考Ⅰ卷12） 分析：本题以正三棱柱为载体，考查立体几何中的热点——动点问题、翻折问题。试 题背景平和，但综合性强，融立体几何、平面几何、向量等于一体，既基础，又综合， 还兼具创新性，涉及到定值问题的证明以及探索符合题意的动点P的个数。考生必须 综合运用平面向量的知识、立体几何的知识、平面几何的知识才能顺利解答，真正体 现了高考评价体系提出的基础性、综合性、应用性、创新性要求，是一道不折不扣的 好题。 高考试题分析与命题趋势 命题趋势与备考建议： 在立体复习中“三垂线定理”“射影长定理”“三余弦定理”等在 课本中已经删除，但又常用定理方法要回归，要强化。