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复旦大学数学科学学院 2012～2013 学年第一学期期末考试试卷 □A 卷答案 MATH120005.04 一、求下列极限：（ 6  3 ） 1  x 1  x   1 ； 3 1． lim x 1 1  cos x 3 2 2 x    t cos t 2 dt    0    0； 2． lim x x 0 2  sin t dt 0 tansin x   sin tan x   0。 x 0 x3 3． lim 二、已知 y f x   xf  y   x ，且 f x  可导，求 2 2 dy 。 （ 6 ） dx 2 x  y 2 f ( x)  f ( y ) 答案： y   。 2 yf ( x)  xf ( y ) 三、设 f tan x  1  cos x  sec x ，且 f 1  4 ，求 f x  。 （ 6 ） 2 2 答案： f ( x)  arctan( x  1)  x  1 ( x  1) 3  3 。 3   四、设 y  sin x 0  x  y  a0  a  1 与 x   2     ， y  a0  a  1 与 x  0 所围面积为 A1 ， y  sin x 0  x   ， 2 2  所围面积为 A2 ，求 A  A1  A2 的最小值。 （ 6 ）     2 1。 4 答案：最小值为 A 五、求下列积分： （ 6  3 ） 1 x dx  arcsin x  1  x 2  c ； 1 x 1．  2． sin x cos x 1 1     dx  (sin x  cos x )  ln csc x   cot x      c；  sin x  cos x 2 4 4 2 2    cos 3 x 2 dx  。 3．  x 3  1  e 2 2 六、已知 f x  存在， f 0  a ，且对任何 x, y 恒有 f x  y   f x   f  y   2 xy ，试求 f x  。 （ 6 ） 答案： f ( x)  ax  x 。 2  七、讨论广义积分 x  ln n xdx   0, n  N  的敛散性。（ 10 ） 1 答案： 0    1 时发散；   1 时收敛。 八、证明：假设 f x  在 a, b 上有连续的二阶导数，又 f a   f b ， f a   0, f b  0 ，那么在 a, b  内，至少有一点  ，使得 f    0 。 （ 10 ） 证：因为 f a   f b ，由 Rolle 定理知，在 a, b  内至少有一点  1 ，使得 f 1   0 。对 f x  分别     在 a, 1 和 1 , b 上应用 Lagrange 中值定理，有 f ( 2 )  f (1 )  f (a) f (a)   0 ，  2  (a, 1 ) ， 1  a 1  a f ( 3 )  f (b)  f (1 ) f (b)   0 ，  3  (1 , b) ， b  1 b  1 由零点存在定理可知，   ( 2 ,  3 )  (a, b) ，使得 f    0 。 1 1 1  1 1 n 1 1 1  1 n 1 九、求行列式 Dn  1 1 1  n 1       1 。（10 ）  n 1 1 答案： Dn  (1) 1 n ( n 1) 2 1  1 (n  1) n1 。 1 1  0 1     T 2 2 4 4 T 十、设 a   2  ， b    ， c   0  ， A  ab ， B  b a ，求解方程 2B A X  A X  B X  c 。  2  1 8     0 （ 10 ）   1  0          答案： X  c  2    0  。     1 1       2